Апофема  Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды  Усеченная пирамида  Правильная усеченная пирамида  Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

А 2 …А n и n треугольников Основание Боковые грани Вершина Высота – перпенди куляр, проведен ный из вершины пирамид ы к плоскост и основани яВысота – перпенди куляр, проведен ный из вершины пирамид ы к плоскост и основани яБоковые ребраБоковые ребра

а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. А n А 1 А 2P h O А 3

равнобедренными треугольниками Дано: PA 1 A 2 …A n – правильная пирамида Док - ть: 1) А 1 Р = А 2 Р = … = А n Р 2)  А 1 А 2 Р =  А 2 А 3 Р = … = =  А n-1 А n Р – р/б А 1 А 2А n Р О А 3

– радиус описанной окружности R По теореме Пифагора: A 1 P=  h 2 + R 2 A 2 P=  h 2 + R 2 – любое боковое ребро РА 1 = РА 2 =…= РА n 1) Рассмотрим  ОРА 1 – п/у РО – высота h, OA 1 – радиус описанной окружности R По теореме Пифагора: A 1 P=  h 2 + R 2 A 2 P=  h 2 + R 2 – любое боковое ребро РА 1 = РА 2 =…= РА nДок – во: А 1 А 2А n Р О2) т. к. РА 1 = РА 2 =…= РА n , поэтому Боковые грани – р/б  Основания э ти х  равны: А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А 1 А n т. к. А 1 А 2 …А n - пра вильный многоугольник2) т. к. РА 1 = РА 2 =…= РА n , поэтому Боковые грани – р/б  Основания э ти х  равны: А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А 1 А n т. к. А 1 А 2 …А n - пра вильный многоугольник  А 1 А 2 Р = … =  А n-1 А n Р – р/б А 1 А 2 Р = … =  А n-1 А n Р – р/б h

вершины Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу Апофемы

равна половине произведения периметра основания на апофему Док – во: S бок = (½ad + ½ad + ½ad) = = ½d(a + a + a)= ½dP d aS бок = ½dP

верхнее основания Боковые грани Боковые ребра Высота (перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания)

параллельной основанию. Апофема d правильной усеченной пирамиды dd

пирамиды Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему S бок = ½(Р 1 + Р 2 ) d P 1 = 4a 1P 1 = 4a 1P 2 = 4a 2P 2 = 4a 2 Док – во: S бок = ½d(a 1 +a 2 ) + ½d(a 1 +a 2 ) + + ½ d(a 1 +a 2 ) + ½d(a 1 +a 2 ) = = ½d(a 1 + a 2 + a 1 + a 2 + a 1 + a 2 + a 1 + a 2 ) = = ½d(4a 1 + 4a 2 ) = ½d(P 1 + P 2 ) dd