Пирамиды

Содержание
История появления
Определение пирамиды
Виды пирамид
Площадь пирамиды
Правильная пирамида
Свойство пирамиды
Апофема Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды
Усеченная пирамида
Правильная усеченная пирамида
Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

История появления
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Определение
Пирамида – многогранник, составленный из n - угольника А1А2…Аn и n треугольников
Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания
Боковые ребра

Пирамиды
Треугольная пирамида (тетраэдр)
Шестиугольная пирамида
Четырехугольная пирамида

Площадь пирамиды
Sполн. = Sбок. + Sосн.
Sбок.
Sосн.

Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
Дано:
PA1A2…An – правильная пирамида
Док - ть: 1) А1Р = А2Р = … = АnР
2) А1А2Р = А2А3Р = … =
= Аn-1АnР – р/б

Док – во:
2) т. к. РА1 = РА2 =…= РАn, поэтому
Боковые грани – р/б 
Основания этих  равны:
А1А2 = А2А3 = … = А1Аn
т. к. А1А2…Аn - правильный многоугольник
А1А2Р = … = Аn-1АnР – р/б

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины
Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу
Апофемы

Теорема о площади боковой
поверхности правильной пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Док – во:
Sбок = (½ad + ½ad + ½ad) =
= ½d(a + a + a)= ½dP
Sбок = ½dP

Усеченная пирамида
многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.
Нижнее и верхнее основания
Боковые грани
Боковые ребра
Высота (перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания)

Все боковые грани усеченной пирамиды - трапеции

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
Апофема d правильной усеченной пирамиды