Пирамиды

Содержание

Содержание  История появления  Определение пирамиды  Виды пирамид  Площадь пирамиды  Правильная пирамида  Свойство пирамиды  Апофема  Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Слайды презентации

Слайд 1
ПИРАМИДА

Слайд 2
Содержание  История появления  Определение пирамиды  Виды пирамид  Площадь пирамиды  Правильная пирамида  Свойство пирамиды 

Апофема  Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды  Усеченная пирамида  Правильная усеченная пирамида  Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Апофема

 Теорема о площади боковой 
поверхности правильной пирамиды

 Усеченная пирамида

 Правильная усеченная пирамида

 Теорема о площади боковой 
поверхности правильной усеченной 
пирамиды

Слайд 3
История появления Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и

Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Вавилоне, 
однако активное развитие получило в 
Древней Греции. Первый, кто установил, 
чему равен объем пирамиды, был 
Демокрит  а доказал Евдокс Книдский. 
Древнегреческий математик Евклид 
систематизировал знания о пирамиде в XII 
томе своих «Начал», а также вывел первое 
определение пирамиды: телесная фигура, 
ограниченная плоскостями, которые от 
одной плоскости сходятся в одной точке.

Слайд 4
αА 1 А 2А n P HОпределениеОпределение Пирамида – многогранник, составленный из n - угольника А 1

А 2 …А n и n треугольников Основание Боковые грани Вершина Высота – перпенди куляр, проведен ный из вершины пирамид ы к плоскост и основани яВысота – перпенди куляр, проведен ный из вершины пирамид ы к плоскост и основани яБоковые ребраБоковые ребра

А
2 …А
n и n 
треугольников
Основание 
Боковые грани Вершина Высота – 
перпенди
куляр, 
проведен
ный из 
вершины 
пирамид
ы к 
плоскост
и 
основани
яВысота – 
перпенди
куляр, 
проведен
ный из 
вершины 
пирамид
ы к 
плоскост
и 
основани
яБоковые  ребраБоковые  ребра

Слайд 5
ПирамидыПирамиды Треугольная пирамида (тетраэдр) Шестиуголь ная пирамида Четырехуго льная пирамида

Слайд 6
Площадь пирамиды S полн. = S бок. + S осн. S бок. S осн.

Слайд 7
Правильная пирамида Пирамида называется правильной , если ее основание – правильный многоугольник,

а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. А n А 1 А 2P h O А 3

а отрезок, 
соединяющий вершину пирамиды с 
центром основания, является ее 
высотой.
А
n
А
1 А
2P
h
O
А
3

Слайд 8
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными

равнобедренными треугольниками Дано: PA 1 A 2 …A n – правильная пирамида Док - ть: 1) А 1 Р = А 2 Р = … = А n Р 2)  А 1 А 2 Р =  А 2 А 3 Р = … = =  А n-1 А n Р – р/б А 1 А 2А n Р О А 3


равнобедренными 
треугольниками
Дано:
PA
1 A
2 …A
n – правильная 
пирамида
Док - ть: 1) А
1 Р = А
2 Р = 
… = А
n Р 
2)  А
1 А
2 Р =  А
2 А
3 Р = … = 
=  А
n-1 А
n Р – р/б
А
1 А
2А
n Р
О
А
3

Слайд 9
1) Рассмотрим  ОРА 1 – п/у РО – высота h, OA 1

– радиус описанной окружности R По теореме Пифагора: A 1 P=  h 2 + R 2 A 2 P=  h 2 + R 2 – любое боковое ребро РА 1 = РА 2 =…= РА n 1) Рассмотрим  ОРА 1 – п/у РО – высота h, OA 1 – радиус описанной окружности R По теореме Пифагора: A 1 P=  h 2 + R 2 A 2 P=  h 2 + R 2 – любое боковое ребро РА 1 = РА 2 =…= РА nДок – во: А 1 А 2А n Р О2) т. к. РА 1 = РА 2 =…= РА n , поэтому Боковые грани – р/б  Основания э ти х  равны: А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А 1 А n т. к. А 1 А 2 …А n - пра вильный многоугольник2) т. к. РА 1 = РА 2 =…= РА n , поэтому Боковые грани – р/б  Основания э ти х  равны: А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А 1 А n т. к. А 1 А 2 …А n - пра вильный многоугольник  А 1 А 2 Р = … =  А n-1 А n Р – р/б А 1 А 2 Р = … =  А n-1 А n Р – р/б h

– радиус описанной окружности R
По теореме Пифагора:                  
    
A
1
P=   h 2
 + R 2
 
    
A
2
P=   h 2
 + R 2
 – любое боковое ребро
        
      
РА
1 = РА
2 =…= РА
n
1)
Рассмотрим   ОРА
1 – п/у 
РО – высота h, OA
1 – радиус описанной окружности R
По теореме Пифагора:                  
    
A
1
P=   h 2
 + R 2
 
    
A
2
P=   h 2
 + R 2
 – любое боковое ребро
        
      
РА
1 = РА
2 =…= РА
nДок – во:
А
1 А
2А
n Р
О2) т. к. РА
1 = РА
2 =…= 
РА
n , поэтому 
Боковые грани – р/б 
 
Основания э ти х   
равны: 
А
1 А
2 = А
2 А
3 = … = А
1 А
n 
т. к. А
1 А
2 …А
n  - 
пра вильный 
многоугольник2) т. к. РА
1 = РА
2 =…= 
РА
n , поэтому 
Боковые грани – р/б 
 
Основания э ти х   
равны: 
А
1 А
2 = А
2 А
3 = … = А
1 А
n 
т. к. А
1 А
2 …А
n  - 
пра вильный 
многоугольник  А
1 А
2 Р = … =  А
n-1 А
n Р – 
р/б А
1 А
2 Р = … =  А
n-1 А
n Р – 
р/б h

Слайд 10
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее

вершины Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу Апофемы

вершины 
Все апофемы 
правильной 
пирамиды 
равны друг 
другу Апофемы

Слайд 11
Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

равна половине произведения периметра основания на апофему Док – во: S бок = (½ad + ½ad + ½ad) = = ½d(a + a + a)= ½dP d aS бок = ½dP

равна половине 
произведения периметра 
основания на апофему
Док – во:
S
бок = (½ad + ½ad 
+ ½ad) = 
= ½d(a + a + a)= 
½dP d
aS
бок = ½dP

Слайд 12
αУсеченная пирамидамногогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию. Нижнее и

верхнее основания Боковые грани Боковые ребра Высота (перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания)

верхнее основания
Боковые грани Боковые ребра
Высота 
(перпендикуляр, 
проведенный из 
какой-нибудь 
точки одного 
основания к 
плоскости другого 
основания)

Слайд 13
Все боковые грани усеченной пирамиды - трапеции

Слайд 14
Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью,

параллельной основанию. Апофема d правильной усеченной пирамиды dd


параллельной основанию.
Апофема d 
правильной 
усеченной 
пирамиды dd

Слайд 15
a 2a 2 a 1a 1Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной

пирамиды Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему S бок = ½(Р 1 + Р 2 ) d P 1 = 4a 1P 1 = 4a 1P 2 = 4a 2P 2 = 4a 2 Док – во: S бок = ½d(a 1 +a 2 ) + ½d(a 1 +a 2 ) + + ½ d(a 1 +a 2 ) + ½d(a 1 +a 2 ) = = ½d(a 1 + a 2 + a 1 + a 2 + a 1 + a 2 + a 1 + a 2 ) = = ½d(4a 1 + 4a 2 ) = ½d(P 1 + P 2 ) dd

пирамиды
Площадь боковой поверхности 
правильной усеченной 
пирамиды равна 
произведению полусуммы 
периметров оснований на 
апофему S бок = ½(Р
1 
+ Р
2 ) d
P
1 = 4a
1P
1 = 4a
1P
2 = 4a
2P
2 = 4a
2
Док – во:
S бок = ½d(a
1 +a
2 ) + 
½d(a
1 +a
2 ) + 
+ ½ d(a
1 +a
2 ) + 
½d(a
1 +a
2 ) = 
= ½d(a
1 + a
2 + a
1 + a
2 + a
1 + 
a
2 + a
1 + a
2 ) = 
= ½d(4a
1 + 4a
2 ) = ½d(P
1 + 
P
2 ) dd
Чтобы скачать презентацию - поделитесь ей с друзьями с помощью социальных кнопок.