Чернявский_Грицкевич_Машеровские_2021

Актуальность
Известно, в общем случае корни произвольного алгебраического полинома пятой степени и выше не могут быть выражены в виде конечной комбинации арифметических действий и радикалов от коэффициентов полинома (теорема Абеля).
Но если полином имеет единственный кратный корень, то этот корень можно выразить в виде дробно-рациональной функции от коэффициентов полинома.
В современной литературе, посвященной непосредственно исследованию полиномов, имеющих кратные корни, например, в [1]-[3], не приводится конечный вид формул для нахождения кратных корней (даже для уравнений четвертой и пятой степеней).
1. Антипова, И.А. Рациональные выражения для кратных корней алгебраических уравнений / И.А. Антипова, Е.Н. Михалкин, А.К. Цих // Математический сборник. – 2018. – Т. 209, № 10. – С. 3–30.
2. D’Andrea, C. Subresultants in multiple roots / C. D’Andrea, T. Krick, A. Szanto // Linear Algebra and its Applications. – 2013. – Vol. 438. – P. 1969–1989.
3. Gelfand, I. M. Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determi-nants / I. M. Gelfand, M. M Kapranov, A. V. Zelevinsky. – Boston : Birkhäuser, 1994. – 528 p.

Актуальность
1. Чернявский, М. М. Модификация формул Эйткена и алгоритмы аналитического нахождения кратных корней полиномов / М. М. Чернявский, Ю. В. Трубников // Веснік Віцебскага дзяржаўнага ўніверсітэта. – 2021. – № 1 (110). – С. 13–25.
2. Трубников, Ю. В. О неполной факторизации полиномов / Ю. В. Трубников, М. М. Чернявский, В. В. Юргелас // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика – 2021. – № 2. – С. 86–94.
Наличие более одного кратного корня у полинома представляет отдельную проблему.
В связи с развитием возможностей систем компьютерной математики стали возможными сложные аналитические преобразования, которые ранее не поддавались ручному счету. Поэтому в XXI веке были получены новые результаты в рассматриваемой области математики.
3. Трубников, Ю. В. Локализация и нахождение решений трехчленных алгебраических уравнений / Ю. В. Трубников, М. М. Чернявский // Математические структуры и моделирование. – 2020. – № 2 (54). – С. 65–85.

Цель доклада –
на примере алгебраического уравнения пятой степени провести анализ современных методов получения точных аналитических формул для выражения кратных корней полинома через коэффициенты.

Материал исследования –
алгебраические полиномы над полем комплексных чисел, имеющие кратный корень.
Методы исследования –
методы алгебры и математического анализа с использованием системы компьютерной математики Maple 2019

Сведения из алгебры
Пусть уравнения
имеют общий корень. Необходимым и достаточным условием этого свойства является равенство
и корни уравнений (1). Так как функция S является симметричной функцией этих совокупностей корней, то её можно представить в виде функции от коэффициентов рассматриваемых полиномов.
Выражение
называется результантом полиномов f и φ.
(1)

Сведения из алгебры
Так как
то результант можно представить в виде
Также результант можно представить в виде определителя
Значение результанта многочлена и его первой производной прямо пропорционально значению дискриминанта D
(2)

Достигнутые результаты
Для полинома f произвольной степени n, имеющего корень z1 кратности k при условии, что остальные корни имеют меньшую кратность, доказано, что справедливы следующие формулы:
Принципиальным отличием является то, что частные производные от результанта многочлена и его производной определенного порядка в проекте берутся не по коэффициентам многочлена, а по коэффициентам производной. Такое решение позволило получить искомые формулы в более компактном виде.
(3)

Конкретный пример
При j = 2
при j = 3
Корни для вычисления корня кратности 3 в случае уравнения пятой степени
Обе эти формулы дают точное значение

Исследование случаев одновременного наличия нескольких кратных корней
Простейший пример для уравнения пятой степени
Исследуется структура частных производных второго порядка от дискриминанта G по коэффициентам полинома

Непосредственное вычисление значений кратных корней полинома
(число различных корней = 2)
Теорема. Полином вида (4) представим в виде
тогда, и только тогда, когда
При этом
Аналогичные формулы получить для случая

Случай трехчленных алгебраических уравнений с действительными коэффициентами
Пусть в уравнении
n – нечетное число, m – четное. Тогда если p, q – разных знаков и имеет место одно из равенств
1. Трубников, Ю. В. Локализация и нахождение решений трехчленных алгебраических уравнений / Ю. В. Трубников, М. М. Чернявский // Математические структуры и моделирование. – 2020. – № 2 (54). – С. 65–85.
то уравнение (5) имеет двукратный действительный корень
и простой действительный корень [1].
Аналогичные условия получены в [1] для остальных возможных соотношений по четности n и m.