Дифференциальные уравнения в частных производных

Содержание

Слайд 2

Если , то в общем случае ДУ с частными производными второго порядка

Если , то в общем случае ДУ с частными производными второго порядка имеет вид:
имеет вид:

Слайд 3

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения вида

 

 

 

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения вида

Слайд 5

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

 

 

 

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Слайд 6

 

 

 

 

Слайд 8

Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной

Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной
функции и всех ее частных производных.

Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых переменных) может быть записано в следующем виде:

Слайд 9

Для упрощения исходного дифференциального уравнения, необходимо сделать замену для независимых переменных:

Для упрощения исходного дифференциального уравнения, необходимо сделать замену для независимых переменных:

Слайд 12

Подставляя теперь найденные частные производные в исходное уравнение, получим уравнение (2):

Подставляя теперь найденные частные производные в исходное уравнение, получим уравнение (2):

Слайд 13

Чтобы уравнение (2) приобрело более простой вид, функции и подбираются так, чтобы

Чтобы уравнение (2) приобрело более простой вид, функции и подбираются так, чтобы
они являлись решениями уравнения (3):

Слайд 14

Теорема:

Для того чтобы функция во всех точках области G удовлетворяла уравнению (3),

Теорема: Для того чтобы функция во всех точках области G удовлетворяла уравнению
необходимо и достаточно, чтобы семейство
было общим интегралом уравнения

Слайд 15

Пример. Найти решение уравнения

Решение. В данном уравнении
Составим характеристическое уравнение:

Пример. Найти решение уравнения Решение. В данном уравнении Составим характеристическое уравнение:

Слайд 18

Линейное уравнение второго порядка

имеет в точке гиперболический тип, если , параболический тип,

Линейное уравнение второго порядка имеет в точке гиперболический тип, если , параболический
если , эллиптический тип, если .
Для того, чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно составить уравнение характеристик
которое распадается на два уравнения (5) и (6):

Слайд 19

Уравнения гиперболического типа:

Общие интегралы уравнений (5) и (6)
будут вещественными и различными.
Они

Уравнения гиперболического типа: Общие интегралы уравнений (5) и (6) будут вещественными и
определяют два различных семейства характеристик.
Вводя новые независимые переменные, по правилу
уравнение приведется каноническому виду:

,

Слайд 20

Уравнения параболического типа

В этом случае уравнения (5) и (6) совпадают, и их

Уравнения параболического типа В этом случае уравнения (5) и (6) совпадают, и
общий интеграл будет иметь вид:
Введем новые независимые переменные, по правилу
где функцию выбираем таким образом, чтобы якобиан преобразования

Слайд 21

Уравнение в новых переменных примет вид:

Уравнение в новых переменных примет вид:

Слайд 22

Уравнения эллиптического типа

Общие интегралы уравнений (5) и (6) – комплексно-сопряженные:
Полагая
исходное уравнение приведется

Уравнения эллиптического типа Общие интегралы уравнений (5) и (6) – комплексно-сопряженные: Полагая
к каноническому виду:

Слайд 23

При построении канонического вида уравнения используются формулы преобразования производных функции к новым

При построении канонического вида уравнения используются формулы преобразования производных функции к новым переменным:
переменным:

Слайд 24

Пример. Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. Имеем
следовательно, уравнение имеет гиперболический тип на

Пример. Привести к каноническому виду уравнение: Решение. Имеем следовательно, уравнение имеет гиперболический
всей плоскости.
Составим уравнение характеристик:

Слайд 25

Характеристиками заданного уравнения будут функции:

Выполним замену:

,

.

Характеристиками заданного уравнения будут функции: Выполним замену: , .

Слайд 26

Построим выражения для производных функции u при переходе к новым переменным, указав

Построим выражения для производных функции u при переходе к новым переменным, указав
слева от вертикальной черты коэффициенты, с которыми производные входят в уравнение:

Слайд 27

Подставляя производные в исходное уравнение, находим коэффициенты:

Построим выражение для неоднородного члена

Подставляя производные в исходное уравнение, находим коэффициенты: Построим выражение для неоднородного члена
уравнения:
Подставляя построенные выражения в заданное уравнение, приведем его к каноническому вид:

Слайд 28

Пример. Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. Имеем
Это уравнение эллиптического типа.
Составим уравнения характеристик:

Пример. Привести к каноническому виду уравнение: Решение. Имеем Это уравнение эллиптического типа. Составим уравнения характеристик:

Слайд 31

Подставив найденные выражения в заданное уравнение, приведем его к каноническому виду:

Подставив найденные выражения в заданное уравнение, приведем его к каноническому виду:

Слайд 32

Пример. Привести уравнение к каноническому виду

Решение. В данном случае
Делаем вывод, что

Пример. Привести уравнение к каноническому виду Решение. В данном случае Делаем вывод,
уравнение относится к параболическому типу. Составляем уравнение характеристик:

 

 

 

 

Слайд 33

Данное уравнение является квадратным относительно отношения дифференциалов dy/dx. Решая его получим два

Данное уравнение является квадратным относительно отношения дифференциалов dy/dx. Решая его получим два
дифференциальных уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

 

 

 

 

Слайд 34

Следовательно

 

 

 

 

 

Следовательно

Слайд 35