Содержание
- 2. Если , то в общем случае ДУ с частными производными второго порядка имеет вид:
- 3. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения вида
- 5. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
- 8. Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее
- 9. Для упрощения исходного дифференциального уравнения, необходимо сделать замену для независимых переменных:
- 12. Подставляя теперь найденные частные производные в исходное уравнение, получим уравнение (2):
- 13. Чтобы уравнение (2) приобрело более простой вид, функции и подбираются так, чтобы они являлись решениями уравнения
- 14. Теорема: Для того чтобы функция во всех точках области G удовлетворяла уравнению (3), необходимо и достаточно,
- 15. Пример. Найти решение уравнения Решение. В данном уравнении Составим характеристическое уравнение:
- 18. Линейное уравнение второго порядка имеет в точке гиперболический тип, если , параболический тип, если , эллиптический
- 19. Уравнения гиперболического типа: Общие интегралы уравнений (5) и (6) будут вещественными и различными. Они определяют два
- 20. Уравнения параболического типа В этом случае уравнения (5) и (6) совпадают, и их общий интеграл будет
- 21. Уравнение в новых переменных примет вид:
- 22. Уравнения эллиптического типа Общие интегралы уравнений (5) и (6) – комплексно-сопряженные: Полагая исходное уравнение приведется к
- 23. При построении канонического вида уравнения используются формулы преобразования производных функции к новым переменным:
- 24. Пример. Привести к каноническому виду уравнение: Решение. Имеем следовательно, уравнение имеет гиперболический тип на всей плоскости.
- 25. Характеристиками заданного уравнения будут функции: Выполним замену: , .
- 26. Построим выражения для производных функции u при переходе к новым переменным, указав слева от вертикальной черты
- 27. Подставляя производные в исходное уравнение, находим коэффициенты: Построим выражение для неоднородного члена уравнения: Подставляя построенные выражения
- 28. Пример. Привести к каноническому виду уравнение: Решение. Имеем Это уравнение эллиптического типа. Составим уравнения характеристик:
- 31. Подставив найденные выражения в заданное уравнение, приведем его к каноническому виду:
- 32. Пример. Привести уравнение к каноническому виду Решение. В данном случае Делаем вывод, что уравнение относится к
- 33. Данное уравнение является квадратным относительно отношения дифференциалов dy/dx. Решая его получим два дифференциальных уравнения первого порядка
- 34. Следовательно
- 37. Скачать презентацию