Дифференциальные уравнения в частных производных

Если , то в общем случае ДУ с частными производными второго порядка имеет вид:

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения вида

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее частных производных.
Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых переменных) может быть записано в следующем виде:

Для упрощения исходного дифференциального уравнения, необходимо сделать замену для независимых переменных:

Подставляя теперь найденные частные производные в исходное уравнение, получим уравнение (2):

Чтобы уравнение (2) приобрело более простой вид, функции и подбираются так, чтобы они являлись решениями уравнения (3):

Теорема:
Для того чтобы функция во всех точках области G удовлетворяла уравнению (3), необходимо и достаточно, чтобы семейство
было общим интегралом уравнения

Пример. Найти решение уравнения
Решение. В данном уравнении
Составим характеристическое уравнение:

Линейное уравнение второго порядка
имеет в точке гиперболический тип, если , параболический тип, если , эллиптический тип, если .
Для того, чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно составить уравнение характеристик
которое распадается на два уравнения (5) и (6):

Уравнения гиперболического типа:
Общие интегралы уравнений (5) и (6)
будут вещественными и различными.
Они определяют два различных семейства характеристик.
Вводя новые независимые переменные, по правилу
уравнение приведется каноническому виду:
,

Уравнения параболического типа
В этом случае уравнения (5) и (6) совпадают, и их общий интеграл будет иметь вид:
Введем новые независимые переменные, по правилу
где функцию выбираем таким образом, чтобы якобиан преобразования

Уравнение в новых переменных примет вид:

Уравнения эллиптического типа
Общие интегралы уравнений (5) и (6) – комплексно-сопряженные:
Полагая
исходное уравнение приведется к каноническому виду:

При построении канонического вида уравнения используются формулы преобразования производных функции к новым переменным:

Пример. Привести к каноническому виду уравнение:
Решение. Имеем
следовательно, уравнение имеет гиперболический тип на всей плоскости.
Составим уравнение характеристик:

Характеристиками заданного уравнения будут функции:
Выполним замену:
,
.

Построим выражения для производных функции u при переходе к новым переменным, указав слева от вертикальной черты коэффициенты, с которыми производные входят в уравнение:

Подставляя производные в исходное уравнение, находим коэффициенты:
Построим выражение для неоднородного члена уравнения:
Подставляя построенные выражения в заданное уравнение, приведем его к каноническому вид:

Пример. Привести к каноническому виду уравнение:
Решение. Имеем
Это уравнение эллиптического типа.
Составим уравнения характеристик:

Подставив найденные выражения в заданное уравнение, приведем его к каноническому виду:

Пример. Привести уравнение к каноническому виду
Решение. В данном случае
Делаем вывод, что уравнение относится к параболическому типу. Составляем уравнение характеристик:

Данное уравнение является квадратным относительно отношения дифференциалов dy/dx. Решая его получим два дифференциальных уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

Следовательно