Электронное пособие. Основные понятия и определения в математике

Оглавление:
Вектор
Матрица
Многогранник
Многоугольник
Определитель
Система
Система координат
Стереометрия
Уравнение плоскости

Вектор
направленный отрезок, для которого указаны начало и конец.
Основные понятия
Виды векторов
Равенство векторов
Сложение и вычитание векторов
Умножение вектора на число
Компланарные векторы
Координаты вектора
Длина вектора
Расстояние между двумя точками
Скалярное произведение векторов

Основные понятия
Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка. Длина нулевого вектора равна 0.
Длина вектора обозначается знаком модуля:

Виды векторов
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Если два ненулевых вектора АБ и CD коллинеарны и если при этом лучи АБ и CD сонаправлены, то векторы АБ и CD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы АВ и CD называются противоположно направленными.

Равенство векторов
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Теорема: от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Сложение векторов
Правило треугольника
Переместительный закон
Сочетательный закон
Разность векторов
Правило многоугольника
Правило параллелограмма

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство
АВ +ВС = АС.

Переместительный закон

Сочетательный закон

Разность векторов

Правило многоугольника

Правило параллелограмма

Умножение вектора на число

Компланарные векторы

Координаты вектора

Сумма и разность векторов, умножение вектора на число.
имеет координаты

Длина вектора
Расстояние между двумя точками

Скалярное произведение векторов

Матрица
математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы.

Многогранник
геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Выпуклый многогранник
Правильный многогранник
Теорема Эйлера
Призма
Параллелепипед
Пирамида

Выпуклый многогранник
многогранник, который расположен по одну сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий поверхность данного многогранника.
Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются его гранями: ABC, DEF, ABED, BCFE, ACFD;
стороны многоугольников – рёбрами: AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF; вершины – вершинами многогранника: A, B, C, D, E, F

Правильный многогранник
многогранник, у которого грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Всего существует 5 типов:
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
У правильного тетраэдра грани –правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра.
Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

КУБ
У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра.
Куб представляет собой прямоугольный параллелепи-пед с равными ребрами.

ПРАВИЛЬНЫЙ ОКТАЭДР
У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

ПРАВИЛЬНЫЙ ДОДЕКАЭДР
У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

ПРАВИЛЬНЫЙ ИКОСАЭДР
У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

Теорема Эйлера
Если V — число вершин выпуклого многогранника, R — число его ребер и G — число граней, то верно равенство:
V – R + G = 2

Призма
многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники, о которых шла речь, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.
Свойства призмы
Треугольная призма
Прямая призма (наклонная, правильная)

Свойства призмы
Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
Боковые рёбра призмы равны и параллельны.
Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.
Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.
Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы.
Призма называется n-угольной, если её основание – n-угольник.

ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
АВСA1В1С1 – треугольная призма;
ΔАВС и ΔA1В1С1 – основания;
АA1, ВВ1, СС1 – боковые рёбра;
АA1В1В, АA1С1С, ВВ1С1С – боковые грани;
A1О – высота призмы;
α – угол наклона бокового ребра к основанию призмы.

ПРЯМАЯ ПРИЗМА
Призма называется прямой, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.
Свойства:
Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.
Боковое ребро прямой призмы является её высотой.
Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:
Sб = Pосн·АА1.
Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками.

Параллелепипед
призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Свойства параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед
Куб
Плоскости симметрии

Свойства параллелепипеда
У параллелепипеда все грани – параллелограммы.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Диагональю параллелепипеда, как и многогранника вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Прямоугольным параллелепипедом называется такой прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Свойства:
Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами.
У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений: d² = a² + b² + c².
Площадь полной поверхности: Sп = 2·(ab+bc+ac);
Объём: V = abc.

КУБ
Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
Диагональ куба в квадратный корень из трёх раз больше его стороны:
Площадь полной поверхности:
Sп = 6·a², Sп = 2·d²
Объем:

Плоскости симметрии
В прямоугольном параллелепипеде, как и во всяком параллелепипеде, есть центр симметрии – точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно парам противолежащих граней. На рисунке №1 показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда.
Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме тех, что на рисунке №2.
Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то есть он является правильной четырёхугольной призмой, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на рисунке №3.

Рисунок №1

Рисунок №2

Рисунок №3

Пирамида
многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину.
Основные понятия
Основание центр описанной окружности
Основание центр вписанной окружности
Правильная пирамида
Усеченная пирамида
Правильная усеченная пирамида

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Высотой пирамиды (SО) называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.
Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
α – угол наклона бокового ребра SA пирамиды к плоскости её основания;
β – угол наклона боковой грани (SED) пирамиды к плоскости её основания.

Основание центр описанной окружности
основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
все боковые ребра равны;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды.

Основание центр вписанной окружности
Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом;
высоты боковых граней равны;
боковые грани образуют равные углы с высотой пирамиды.

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (О - центр описанной и вписанной окружностей основания).
Свойства:
Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.
Боковые ребра правильной пирамиды равны.
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды (SL), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой.
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: Sб = ½Pосн·SL.

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Плоскость, которая пересекает пирамиду и параллельна её основанию, делит её на две части: пирамиду, подобную данной и многогранник, называемый усеченной пирамидой.
Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями, остальные грани называются боковыми гранями.
Свойства:
Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.
Высота усеченной пирамиды (ОО1) – это расстояние между плоскостями её оснований.
Если S1 и S2 – площади оснований усечённой пирамиды и h – её высота, то для объёма усеченной пирамиды верно:

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Усеченная пирамида (например, АВСDA1В1С1D1), которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной.
Боковые грани правильной усеченной пирамиды (АA1В1В, АA1С1С, DD1С1С, АA1D1D) – равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

Многоугольник
это замкнутая линия, которая образовывается, если взять n каких-либо точек A1, A2, ..., An и соединить их последовательно отрезками.
Выпуклый многоугольник
это многоугольник, не имеющий самопересечений и каждый его внутренний угол меньше 180°.

Определитель
Простой определитель
Способ столбцов и строк (ССС)
Правило Саррюса
Правило треугольника
Что такое определитель?
Для определителей третьего порядка

Определитель матрицы.
Определитель (детерминант) матрицы - выражение, составленное из матрицы, с помощью которого находят решение систем линейных уравнений.
Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или ΔA.

Вычисление определителей

Вычисление определителя матрицы 3-го порядка

Правило Саррюса

Правило треугольника: значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, из которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

Система координат
комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
Прямоугольная система координат на плоскости
Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат на плоскости(декартовая)
образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат Ох(ось абсцисс) и Оу(ось ординат). Оси координат пересекаются в точке О, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей.

Прямоугольная система координат в пространстве
образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат Ох(ось абсцисс), Оу(ось ординат) и Оz(ось аппликат). Оси координат пересекаются в точке О, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей.

Система
это совокупность элементов или отношений, закономерно связанных друг с другом в единое целое.

Стереометрия
отдел геометрии, изучающий фигуры, не лежащие в одной плоскости.