Комплексные числа

Мнимая единица
i – начальная буква французского слова
imaginaire – «мнимый»

Например,
Вычислите:

Значения степеней числа i
повторяются с периодом,
равным 4.
Найдем:

Решение.
i ,– 1, – i , 1 ,
i, – 1, – i, 1 и т. д.
Имеем, 28 = 4×7 (нет остатка);
33 = 4×8 + 1 ;
135 = 4×33 + 3 .
Соответственно получим

Вычислите:
-1
-i
1
2-i
-1

Комплексные числа
Определение 1. Числа вида a + bi,
где a и b – действительные числа,
i – мнимая единица,
называются комплексными.
a - действительная часть комплексного числа,
bi – мнимая часть комплексного числа,
b – коэффициентом при мнимой части.

VII в.н.э.-
квадратный корень из положительного числа имеет два значения –
положительное и отрицательное,
а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя:
нет такого числа х, чтобы
х2 = -9.

В XVI
веке
в связи с изучением
кубических уравнений
оказалось необходимым
извлекать квадратные корни
из отрицательных чисел.
Первым учёным,
предложившим ввести
числа новой природы,
был Джорж Кордано.

Он предложил
Кордано назвал такие величины
“чисто отрицательными” или даже “софистически отрицательными”, считая их бесполезными и стремился не применять их.

в 1572
году
итальянский учёный
Бомбелли
выпустил книгу, в которой были
установлены первые правила
арифметических операций над
комплексными числами,
вплоть до извлечения из них
кубических корней.

Название
“мнимые числа”
ввёл французский математик и философ Р. Декарт
в 1637
году

один из крупнейших
математиков XVIII века –
Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова
imaginare (мнимый)
для обозначения
в 1777
году

гораздо
В настоящее время
в математике
шире,
комплексные числа
используются
действительные
чем

Комплексные
числа имеют
прикладное значение
во многих областях науки, являются
основным аппаратом для расчетов
в электротехнике и связи.

Применяются
при
конструировании
ракет и самолетов

При вычерчивании
географических карт

В исследовании
течения воды, а также во многих других науках.

a + bi = c + di, если a = c и b = d.
Определение 2.

Решение.
Согласно условию равенства комплексных чисел имеем
3y = 15, 5x = – 7.
Отсюда
Найти x и y из равенства:
3y + 5xi = 15 – 7i;
Пример .

(а+bi)
Вычитание
=(a+c)
+
(c+di)
Сложение
(b+d)
+
i
(а+bi)
-
(c+di)
=(a-c)
+
(b-d)
i

Выполните действия:
z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i.
Найти: а) z1 + z2; б) z1 – z2;
а) z1 + z2 =(2 + 3i) + (5 – 7i) =
=(2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 =(2 + 3i) – (5 – 7i) =
=(2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
Решение.

Умножение
(c+di)
= ac
bс
i
=
+
+
+
аd
bd
(а+bi)
i
=
=
(ac-bd)
+
(аd+bc)
i
i2

Выполните действия:
(5 + 3i)(5 – 3i)
(2 + 3i)(5 – 7i)
(2 – 7i)2
=
=
=
=
(10+21) + (-14+15)i
=
31+i
25-9i2
=
34
4 - 28i + 49i2
=
=
-45-28i
25m2+16
(5m-4i)(5m+4i)
25m2 -16i2
=
=

Определение 3.
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
z1= a+bi и z2=a-bi

Деление
=
=
=

Выполните действия:
=
=
=
2