Лекция 2 Плоскость как поверхность I порядка. Уравнения плоскости и их исследование

Элементы аналитической геометрии
§ 1. Плоскость.
Имеем OXYZ и некоторую
поверхность S
F(x,y,z) = 0
Определение 1: уравнение с тремя переменными называется уравнением поверхности S в пространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки не лежащей на ней.

Пример.
Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (R > 0)
определяем сферу с центром в точке C(a,b,c) и радиусом R.
M(x,y,z) – переменная
точка M ϵ (S) ⬄ |CM| = R
M
C

Определение 2: Поверхность S называется поверхностью n-того порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени
F(x,y,z) = 0 (1)
В примере (S) - окружность, поверхность второго порядка.
Если S - поверхность n-того порядка, то
F(x,y,z) - многочлен n-той степени относительно (x,y,z)
Рассмотрим единственную поверхность 1-го порядка – плоскость.
Составим уравнение плоскости проходящей через точку M0(x0,y0,z0), с вектором нормали

Пусть M(x,y,z) - это произвольная (текущая) точка плоскости.
или в координатной форме:
Уравнение (2) - уравнение плоскости проходящей через точку М с данным вектором нормали .
(2)

D
(*)
(3) - полное уравнение плоскости
Неполное уравнение плоскости.
Если в уравнении (3) несколько коэффициентов (но не A,B,C одновременно) = 0, то уравнение называется неполным и плоскость α имеет особенности в расположении.
Например если D = 0, то α проходит через начало координат.

Расстояние от точки М1 до плоскости α
М1(x1,y1,z1) α:
приложим к точке M0
M0
M1
K
α
d

- расстояние от точки M1 до плоскости α
Уравнение плоскости «в отрезках»
Составим уравнение плоскости отсекающей на координатных осях ненулевые отрезки с величинами a,b,c .
В качестве возьмем
Составим уравнение для т. A с
B(0,b,0)
A(a,0,0)
C(0,0,c)

уравнение
плоскости,
проходящей
через точку А,
перпенди-
кулярно
вектору
нормали
-уравнение
плоскости α
"в отрезках"

§2. Общее уравнение прямой.
Прямую в пространстве можно задать пересечением 2-х плоскостей.
(1) уравнение
прямой
Система вида (1) определяет прямую в пространстве, если коэффициенты A1,B1,C1 одновременно непропорциональны A2,B2,C2.

Параметрические и канонические уравнения прямой
-произвольная точка прямой
M0
M
α
точка
Параметрическое уравнение
t - параметр

Исключив t получим:
- каноническое
уравнение
Система (3) определяет движение материальной точки, прямолинейное и равномерное из начального положения M0(x0,y0,z0) со скоростью
в направлении вектора .

Расстояние от точки до прямой
-расстояние от точки M1
до прямой α

Угол между прямыми в пространстве.
Условия параллельности и перпендикулярности.
Пусть в пространстве две прямые L1, L2 заданы своими каноническими уравнениями:
Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла ϕ между

их направляющими векторами:
Пользуясь определением скалярного
произведения и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов q1 и q2, получим для нахождения ϕ

Условие параллельности прямых l1 и l2 соответствует коллинеарности q1 и q2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид:
Условие перпендикулярности следует из определения скалярного произведения и его равенства нулю (при cosϕ = 0) и имеет вид:
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.

Угол между прямой и плоскостью: условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Рассмотрим плоскость П, заданную общим уравнением: Ах + By + Cz + D = 0, и прямую L, заданную каноническим уравнением:

Т.к. угол ϕ между прямой L и плоскостью П является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой
q = (l, m, n) и нормальным вектором плоскости n = (А, В, С), то из определения скалярного произведения
qn =|q||n|cosϕ и равенства cosψ = sinϕ (ϕ = 90 - ψ), получим:

Условие параллельности прямой L и плоскости П (включающее в себя принадлежность L к П ) эквивалентно условию перпендикулярности векторовq и n и выражается = 0 скалярного произведения этих векторов: qn = 0:
Аl + Bm + Cn = 0.
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости П эквивалентно условию параллельности векторов n и q и выражается пропорциональностью координат этих векторов:

Условия принадлежности двух прямых к одной плоскости
Две прямые в пространстве L1 и L2 могут: 1) пересекаться; 2) быть параллельными;
3) скрещиваться.
В первых двух случаях прямые L1 и L2 лежат в одной плоскости.
Установим условие принадлежности к одной плоскости двух прямых, заданных каноническими уравнениями:

Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора = (х2 - х1, у2 - у1, z2 - z1);
q1 = (l1,m1,n1) и q2 = (l2,m2,n2), были компланарны, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение указанных трех векторов = 0.

Записывая смешанные произведения указанных векторов в координатах получаем необходимое и достаточное условие принадлежности двух прямых L1 и L2 к одной плоскости:

Условие принадлежности прямой к плоскости
Пусть есть прямая
и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0.
Эти условия имеют вид:
Ах1 + Ву1 + Сz1 + D = 0 и Аl + Вm + Сn = 0, первое из которых означает, что точка М1(х1,у1,z1), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе – условие параллельности прямой и плоскости.

Кривые второго порядка.
§ 1. Понятие об уравнении линии на плоскости.
Уравнение f (x,y) = 0 называется уравнением линии L в выбранной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.

Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a,b).
Если 1.)
2.)

Линия L называется линией n-того порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени относительно x и y.
Мы знаем единственную линию 1-го порядка – прямую: Ax + By + D = 0
Мы будем рассматривать кривые 2-го порядка:
эллипс, гиперболу, параболу.
Общее уравнение линий 2-ого порядка имеет вид:
Ax2 + By2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0

Эллипс (Э)
Определение. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая расстояния между фокусами.
Обозначим постоянную 2а, расстояние между фокусами 2с
(а > с, а > 0, с > 0).
Проведем ось Х через фокусы, ось Y через середину фокусного расстояния.
Пусть М – произвольная точка эллипса,
т. М ϵ Э ⬄ r1 + r2 = 2a (1),
где r1, r2 – фокальные радиусы Э.

Запишем (1) в координатной форме:
(2)
Это уравнение эллипса в выбранной системе координат.
Упрощая (2) получим :
b2 = a2 - c2
(3) – каноническое уравнение эллипса.
Можно показать, что (2) и (3) эквивалентны:

Исследование формы эллипса по каноническому уравнению
1) Эллипс – кривая 2-го порядка
2) Симметрия эллипса.
т.к. x и y входят в (3) лишь в четных степенях, то эллипс имеет 2 оси и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с выбранными осями координат и точкой О.

3) Расположение эллипса
Т.е. весь Э расположен внутри прямоугольника, стороны которого x = ± a и y = ± b.
4) Пересечение с осями.
С ОХ:
С ОУ:
В силу симметрии эллипса рассмотрим его поведение (↑↓) лишь в I четверти.
A1(-a;0); A2(a;0);
вершины эллипса
B1(0;b); B2(0;-b);

Разрешив (3) относительно y получим:
в I четверти x > 0 и эллипс убывает.
Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины.
План построения Э.
1) Строим прямоугольник со сторонами 2a, 2b
2) Вписываем выпуклую овальную линию

Построение эллипса

Гипербола (Г)
Определение : Г – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых до 2-х фиксированных точек плоскости F1 , F2 есть величина постоянная и < этого расстояния.
2а, |F1F2| = 2c
Выберем систему
координат .
точка М ϵ Г ⬄ |r1 - r2|=2a
r1 - r2 = ± 2а
В координатной форме:
(1) – уравнение Г в выбранной системе координат

Упрощая (1):
(2) – каноническое уравнение Г.
и (2) – эквивалентны.
Исследование гиперболы по каноническому уравнению
1) Г- линия 2-го порядка
2) Г имеет две оси и один центр симметрии, которые в нашем случае совпадают с координатными осями и началом координат.
3) Расположение гиперболы.

Гипербола расположена вне полосы между прямыми
x = a, x = -a.
4) Точки пересечения с осями.
OX:
OY:
не имеет решений
A1(-a;0); A2(a;0) – действительные вершины Г
B1(0;b); B2(0;-b) – мнимые вершины Г
2a – действительная ось Г
2b – мнимая ось Г

5) Асимптоты гиперболы.
В силу симметрии Г рассмотрим ее часть в I четверти .
Разрешив (2) относительно y, получим:
уравнение Г в I четверти x ≥ 0
Рассмотрим прямую:
т.к. в I четверти x>0, то т.е. в I четверти при одной и той же абсциссе, ордината прямой > ординаты соответствующей точки Г, т.е. в I четверти Г лежит ниже этой прямой.
Вся Г лежит внутри вертикального угла со сторонами

Покажем, что при неограниченном удалении от начала координат Г приближается к прямым .

6) Можно показать, что в I ч. Г возрастает
7) План построения Г
а) строим прямоугольник 2a, 2b
б) проводим его диагонали
в) отметим А1, А2 – действительные вершины Г и впишем эти ветви

Парабола (П)
Рассмотрим d (директрису) и F (фокус) на плоскости.
Определение. П – множество всех точек плоскости, равноудаленных от прямой d и точки F (фокус)

d-директриса
F-фокус
XOY
точка М ∈ П тогда, |MF| = |MN|
(1)
уравнение П, выбранной в системе координат
Упрощая (1) получим
y2 = 2px (2) – каноническое уравнение П.
(1) и (2) эквивалентны

Исследование П по каноническому уравнению
x2=2py x2=-2py y2=2px y2=-2px

§4. Цилиндры.
Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осями
Через точку х линии L проведем прямую параллельную оси OZ. Поверхность, образованная этими прямыми называется цилиндрической поверхностью или цилиндром (Ц).
Любая прямая параллельная оси OZ называется образующей.
l - направляющая цилиндрической поверхности плоскости XOY.
Z(x,y) = 0 (1)

Пусть М(x,y,z) – произвольная точка цилиндрической повер-хности. Спроецируем ее на L.
M0 ϵ L => Z(x0,y0) = 0 (2)
x = x0
y = y0
=> Z(x,y) = 0
Mϵ Ц
M0ϵ L
то есть координаты М удовлетворяют (1) очевидно, что если М Ц, то она не проектируется в точку М0 ϵ L и следовательно, координаты М не будут удовлетворять уравнению (1), которое определяет Ц с образующей параллельной оси OZ в пространстве.
Аналогично можно показать, что :
Ф(x,z) = 0 в пространстве Ц || OY
ϕ(y,z) = 0 определяет в пространстве Ц || OX

Примеры цилиндров второго порядка
1) Эллиптический

2) Гиперболический
3) Параболический y2=2px

Проекция пространственной линии на координатной плоскости
Линию в пространстве можно задать параметрически и пересечением поверхностей. Одну и ту же линию можно задать ∩ различных поверхностей.
Пусть пространственная линия L задается ∩ двух поверхностей α:
S1: Ф1(x,y,z) = 0
S2: Ф2(x,y,z) = 0
уравнение L Ф1(x,y,z) = 0 (1)
Ф2(x,y,z) = 0
Найдем проекцию L на плоскость XOY из уравнения (1) исключаем Z. Получим уравнение: Z(x,y) = 0 – в пространстве это уравнение Ц с образующей || OZ
и направляющей L.

Проекция:
L′xy Z(x, y) = 0
Z = 0
Поверхности второго порядка
Эллипсоид – каноническое уравнение поверхности имеет вид:
1) Эллипсоид – поверхность второго порядка.
2) X,Y,Z входят в уравнение лишь в четных степенях =>
поверхность имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с координатными плоскостями и началом координат.

3) Расположение эллипсоида
Поверхность заключена между || плоскостями с уравнениями x = a, x = -a.
Аналогично
т.е. вся поверхность заключена внутри прямоугольного параллелепипеда.
х = ± а, y = ± b, z = ± с.
Будем исследовать поверхность методом сечений – пересекая поверхность координатными плоскостями и плоскостями || координатным. В сечении будем получать линии, по форме которых будем судить о форме поверхности.

Пересечем поверхность плоскостью XOY. В сечении получим линию.
Аналогично с плоскостью YOZ
Плоскость || XOY
Если h(0,с), то оси эллипса убывают от a и b до 0.
-эллипс с полуосями b и с
- эллипс a и b –
полуоси

a = b = с - сфера
Параболоиды
а) Гиперболический параболоид – поверхность с каноническим уравнением:
1) Поверхность второго порядка
2) Так как x,y входят в уравнение лишь в четных степенях, то поверхность имеет плоскости симметрии, которые при данном выборе координат совпадают с плоскостями XOZ, YOZ.

3) исследуем поверхность методом сечения
пл.XOZ
В сечении парабола симметричная оси OZ, восходящая.
пл.YOZ
седло

пл.||YOZ
пл.||XOZ
пл.XOY
В сечении пара прямых, проходящих через начало координат

пл.||XOY
при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h < 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль оси Y.
Эллиптический параболоид
1) поверхность второго порядка
2) имеет 2 плоскости симметрии, которые совпадают с XOZ и YOZ
3) левая часть уравнения неотрицательна => z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY.
4) исследуем поверхность методом сечения

пл.XOY
пл. ||XOY
пл.YOZ
пл.XOZ
парабола восходящая
с вершиной в начале координат
парабола восходящая с
вершиной в начале координат

Гиперболоиды
а) Однополосный гиперболоид
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии
3) метод сечений

пл.XOY
пл. ||XOY
при |h| –>∞ от a и b до ∞.
в сечении эллипс с полуосями а и b - горловой

б) Двуполостный гиперболоид
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии
3) расположение поверхности
x2 ≥ a2 ; |x| ≥ a ; (a,b,c > 0)
Поверхность состоит из двух частей, расположенных вне полосы между плоскостями с уравнениями
x = a, x = -a
4) исследуем методом сечений (Самостоятельно!)

Конус второго порядка
Конусом второго порядка называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии
3) исследуем методом сечений
пл.XOY

пл.||XOY
|h| –>∞ от 0 до ∞
пл.YOZ
пара прямых, проходящих через начало координат
пл.XOZ
пара прямых, проходящих через начало координат