Матрицы и действия на матрицами

Преподаватель: Шеметова Ирина Геннадьевна
Тема урока: Матрицы и действия над матрицами

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел (элементов матрицы), содержащая m строк и n столбцов. Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Обозначения:
А =
(размера mxn)
Элемент матрицы -
где i – номер строки, j – номер столбца

Например, матрица А размера 2х3
Матрица В размера 3х2

Две матрицы А и В называются равными, если они совпадают поэлементно

Виды матриц
-А = - матрица противоположная
матрице А
- Матрица –строка (состоящая из одной строки)
- Матрица-столбец (состоящая из одного столбца)

Виды матриц
- нулевая матрица (все элементы равны 0)
- диагональная матрица (если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны 0)
Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки (i=j) называются диагональными и образуют главную диагональ.

Е =
- единичная матрица (если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны 1)
Виды матриц
Запишите диагональную матрицу третьего порядка
Запишите единичную матрицу третьего порядка

Операции над матрицами
1. Сложение матриц
Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех размеров, у которой сij = аij + bij , для любых i, j.
C = A + B (СЛОЖЕНИЕ ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА СКЛАДЫВАЮТСЯ МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА)
Свойства сложения матриц:
A +B = B + A
(A +B) +C = A + (B + C)
A + 0 = A
A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

Пример 1: Найти сумму матриц:
А = и В =

Пример 2: Найти разность матриц:
А = и В =
Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.
А – В = А + (-В)

Пример 3: Найти разность матриц В-А
А = В =

Операции над матрицами
2. Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij) тех же размеров, у которой сij = k · aij для любых i,j.
C = k · A
Свойства умножения матрицы на число:
1)
2)
3)
4)
для любых А, В одинаковых размеров, любых действительных чисел α, β

Пример 4:
Дана матрица А =
Найти матрицу С = 2А.

Произведением матрицы А = (аik) размеров mn на матрицу В = (bkj) размеров np называется матрица С = (сij) размеров mp, у которой
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj.
C = AB (УМНОЖЕНИЕ ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ЧИСЛО СТОЛБЦОВ ПЕРВОЙ МАТРИЦЫ РАВНО ЧИСЛУ СТРОК ВТОРОЙ)
Свойства умножения матриц:
AE = EA = A
A0 = 0A = 0
(AB)D = A(BD)
о
(A + B)D = AD + BD
D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл).Для квадратных матриц АВ≠ВА
Операции над матрицами
3. Умножение матриц

Пример 5: Даны матрицы:
А = и В =
Найти произведение матриц А и В.

Пример 6: Даны матрицы:
А = и В =
Найти произведение матриц А*В и В*А (если возможно).

Транспонирование матриц (переход от матрицы А к матрице А/, в которой строки и столбцы поменялись местами)
А = Ат =
Ат – транспонированная матрица.
Свойства транспонирования:
1) 3)
2) 4)
Операции над матрицами
4. Транспонирование матриц

Пример 7:
Найти , если

Пример 8:
Даны матрицы:
Найти: