Описание случайных погрешностей с помощью методов математической статистики

Основные задачи математической статистики
Описание выборочных данных
Оценивание (вероятностное) параметров распределения
Проверка статистических гипотез о свойствах генеральной совокупности

Основные понятия математической статистики
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА — наука о методах обработки экспериментальных данных, полученных при изучении закономерностей в массовых измерениях, выполненных при одинаковых условиях.
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА (Х) — физическая величина, значение которой при измерении изменяется от к случаю с той или иной вероятностью.
Дискретная случайная величина - величина, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями.
Непрерывная случайная величина - величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
ВЫБОРКА ОБЪЕМА (n) — конечная совокупность значений X = (x1,x2, x3…xn) полученных в результате n независимых экспериментов, выполненных при одинаковых условиях.
ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТЬ — множество всех мыслимых значений случайной величины X.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ — зависимости между входными и выходными переменными, носящие вероятностный характер, например:

Основные понятия математической статистики
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.
ВЕРОЯТНОСТЬ — категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот
P(X) = n/N

Функция распределения

Функция распределения

Важнейшие параметры функции распределения

Важнейшие параметры функции распределения

Важнейшие параметры функции распределения

Оценивание генеральных параметров (свертывание цифровой информации)
Требования предъявляемые к оценке параметров распределения
(Несмещеность, состоятельность и эффективность):
Состоятельная оценка – это оценка, которая при увеличении числа наблюдений стремится к истинному значению оцениваемого параметра.
Несмещенная оценка – оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра.
Эффективная оценка – оценка, имеющая наименьшую дисперсию по сравнению с любой другой оценкой данного параметра.

Оценивание генеральных параметров (свертывание цифровой информации)

Оценивание генеральных параметров (свертывание цифровой информации)

Другие статистические показатели выборок
Размах R = xmax – xmin (15)
Асимметрия (16)
Эксцесс (17)

Другие статистические показатели выборок
Доверительный интервал
Симметричный интервал с границами ± Δх(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности с доверительной вероятностью Р, если площадь кривой распределения между абсциссами –Δх и +Δх составляет Р-ю часть всей площади под кривой плотности распределения вероятностей.

Другие статистические показатели выборок

Теоретические распределения
ДИСКРЕТНЫЕ:
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
НЕПРЕРЫВНЫЕ:
Нормальное
Распределение Стьюдента
Логарифмически нормальное
Распределение Пирсона
Распределение Фишера
Знание распределений необходимо для построения статистических выводов из выборочных данных: оценивание, проверка гипотез, отыскание допустимые отклонений, вероятностей ошибок и др.

Используют для вычисления погрешности при пробоотборе штучных образцов:
или объема выборки при заданной погрешности пробоотбора
Биномиальное распределение
Вычисляют вероятность того, что при n испытаниях успешными окажутся k испытаний, при условии, что вероятность единичного успеха равна p.

Распределение Пуассона
P(x)
P(x)
ΣP
ΣP
Применяют при регистрации скоростей счета частиц в радиохимии, числа квантов в рентгеноспектральном анализа, числа структурных элементов шлифов при фазовом анализа и др.

Нормальное распределение
μ – любое действительное число и σ >0

Нормальное распределение
Основные принципы:
1) φ(x) ≥ 0;
2)
3)
4)
5)
μ (σ=const) определяет смещение кривой по оси x;
σ определяет степень «размытости» кривой.
8. При μ = 0, σ = 1 (Стандартное нормальное распределение)

Стандартное нормальное распределение

Стандартное нормальное распределение

Распределения Стьюдента

Логнормальное распределение
Логнормальное распределение имеет место в следующих случаях:
в инструментальных методах анализа, в которых аналитический сигнал пропорционален логарифму концентрации определяемого компонента;
при определении очень низких концентраций аналитов;
при очень большом разбросе результатов;
при измерении времени.

Распределение χ2 (Пирсона)
Случайные величины X1, X2,..., Xn независимые стандартные нормально распределенные величины, т.е. M(X) = 0 и D(X) = 1.
Для конечной выборки

Распределение Фишера
f=5

Связь между отдельными теоретическими распределениями

Результат измерения и оценка его случайной погрешности

Результат измерения и оценка его случайной погрешности
Многократные измерения