Определение.Модуль числа а

Геометрическая интерпретация
|а| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.
Если а 0, то на координатной прямой существует две точки а и –а, равноудаленные от нуля, модули которых равны.
Если а=0, то на координатной прямой |а| изображается точкой 0.

Пример 1. Решить неравенство:
Решение.
Рассмотрим четыре случая.
1) 3)
2) 4)
Объединим эти решения:
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Пусть . Тогда уравнение примет вид . Воспользуемся геометрическим смыслом модуля: найдем все точки числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 0 и 4 равна 10.
Ответ: {-4, -2, 1, 3}

Пример 3: Решить уравнение:
Решение: Уравнение равносильно следующему:
Пусть t =|x-2|, t ≥ 0. Тогда , и уравнение примет вид:
Но t ≥ 0, поэтому t = 1, откуда
Ответ: {1, 3}

Пример 4. Решить уравнение (неравенство):
а)
б)
в)
г)
д)

Решение: а) Так как обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат является равносильным преобразование:
а)
Решим последнее неравенство методом интервалов:
Ответ:

б)
Ответ: {2, 6}

в)
Решим второе неравенство последней совокупности методом интервалов:
Объединяя найденные решения с решением неравенства , получим ответ.
Ответ:

г)
(1)
(2)
Решим (1) методом интервалов:
Решим (2) методом интервалов:
Найдем пересечение решений:
Ответ:

д)
Перепишем уравнение (так как |-a|=|a|):
Из свойства 10:
Тогда уравнение равносильно неравенству:
Метод интервалов дает:
Ответ: