Равносильность уравнений. 11 класс

Определение 1. Два уравнения с одной переменной
f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.
Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.
Например, уравнения х2 - 4 = 0 и (х + 2)(2x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня:
2 и -2. Равносильны и уравнения х2+1=0и√x=-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2. Если каждый корень уравнения
f(x) = g(х) (1)
является в то же время корнем уравнения
р(х) = h(х), (2)
то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
Например, уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение (х - 2)2 = 9 имеет два корня: х1 = 5, х2 = -1. Корень уравнения х - 2 = 3 является одним из корней уравнения (х - 2)2 = 9. Зна­чит, уравнение (х - 2)2 = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3.
Достаточно очевидным является следующее утверждение.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

.
В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.
Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.
Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Теоремы о равносильности уравнений
«Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.
«Беспокойные теоремы» работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

«Спокойные теоремы»
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение аf(x) = аg(x) (где а > 0, a≠1) равносильно уравнению f(x) = g(х).

ОДЗ
Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.
Определение 3. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х, при которых одновре­менно имеют смысл выражения
f(х) и g(х).

«Беспокойные теоремы»
Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)
б) нигде в этой области не обращается в 0
то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.
Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение (f(x))n=(g(x))n равносильное данному в его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть а>0 и a≠1, X — решение системы неравенств
f(х) > О,
g(х) > 0 Тогда уравнение loga f(x) = loga g(x) равносильно на множестве X уравнению f(x) = g(х)

Краткая запись теорем 4 – 6.
4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0
и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.
5. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))n=(g(x))n , где f(x)≥0, g(x)≥0
и n=2k (чётное число).
6. loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(х), где f(х) > О, g(х) > 0
и а>0 и a≠1

Преобразование данного уравнения
в уравнение – следствие.
Проверка корней.
Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.
Например. а) х – 1 = 3; х = 4
Умножим обе части на (х – 2):
(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!
б) ln(2x-4) =ln(3x-5)
Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

Пример 1
Решить уравнение
Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) -> (2) (3) -> (4) -> ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Последовательно получаем:
100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х²
9х² - 416х + 796 = 0
х₁ = 2; х₂ = 398/9
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.
х₂ = 398/9 - посторонний корень.
Ответ: х = 2

Пример 2
Решить уравнение
ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х).
Решение. Первый этап. Воспользуемся правилом «сумма ло­гарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением
ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
ln (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х).
Потенцируя, получаем:
(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х); 2х2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х; 2х2 + 13х + 11 = 0; х₁ = -1, х2 = -5,5.
Второй этап. В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.
Третий этап. Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе ре­шения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств
Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а зна­чение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.
Ответ: -1.

О потере корней
Укажем две причины потери корней при решении уравнений:
1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h(х) ≠ 0);
2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f(х)h(х) = g{х)h{х) к уравнению h(x)(f(x) – g(x))=0 (а не к уравнению f(x)=g(x)). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х2 = 4 и решим его двумя способами.
Первый способ. Воспользовавшись определением логарифма, находим:
х2 = 104; х₁ = 100, х2 = -100.
Второй способ. Имеем: 2lg х = 4; lg x = 2; х = 100.
Обратите внимание: при втором способе произошла потеря кор­ня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х2 =2lglхl мы воспользовались неправильной формулой
lg х2 = 2lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.
Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей
формулы были одинаковыми.

§ 26; № 12(а, б) – 15(а, б).
Домашнее задание