Свойства числовых функций

Термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.
Если функция возрастает (или убывает) на своей области определения, то говорят, что функция возрастающая (убывающая).

Пример
Исследовать на монотонность функцию y=5-2x
Решение:
f(x)=5-2x
x1
-2x1>-2x2
5-2x1>5-2x2
То есть f(x1)>f(x2).
Из неравенства x1
f(x2), а это означает, что заданная функция убывает на всей числовой прямой.

Пример

Если множество Х не указано, то подра-зумевается, что речь идет об ограниченности функции сверху или снизу на всей области ее определения.
Если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то ее называют ограниченной.

Ограниченность функции легко читается по графику:

Пример

Если множество Х не указано, то подразумевается, что речь идет об поиске наименьшего или наибольшего значения функции на всей области ее определения.

Утверждения:
1) Если у функции существует yнаим, то она ограничена снизу.
2) Если у функции существует yнаиб, то она ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то у нее не существует унаим .
4) Если функция не ограничена сверху, то у нее не существует унаиб .

Если график функции f(x) на промежутке Х не имеет точек разрыва (то есть представляет собой сплошную линию), то это значит, что функция f(x) непрерывна на промежутке Х.
Замечание: Обсуждая последние два свойст-ва, мы будем пока по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления. До-казательство этих свойств будет рассмотрено нами позже.

Функцию f(x), xϵX называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство:
f(-x)=f(x)
Функцию f(x), xϵX называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство:
f(-x)=-f(x)

В определениях идет речь о значениях функции в точках -х и х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х и в точке -х. Это значит, что точки х и -х одновременно принадлежат области определения функции. Если числовое множество Х вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то такое множество называют симметричным множеством.
Например: отрезок [-5, 5] ̶ симметричное множество, а отрезок [-4, 5] ̶ не симметричное множество (в него входит число 5, но не входит противоположное ему -5)

Если функция у=f(x), хϵХ четная или нечетная, то ее область определения Х – симметричное множество.
Если же Х – несимметричное множество, то функция у=f(x), хϵХ не может быть ни четной ни нечетной.

Алгоритм исследования функции y=f(x), хϵХ на четность.
Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то перейти ко второму шагу алгоритма.
Составить выражение f(-x).
Сравнить f(-x) и f(x):
а) если f(-x)=f(x), то функция четная;
б) если f(-x)=-f(x), то функция нечетная;
в) если хотя бы в одной точке хϵХ выполняется соотношение f(-x)≠f(x) и хотя бы в одной точке хϵХ выполняется соотношениеf(-x)≠-f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример

Пример

Пример

График четной функции симметричен относительно оси у.
Если график функции y=f(x), хϵХ симметричен относительно оси ординат, то y=f(x), хϵХ – четная функция.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если график функции y=f(x), хϵХ симметричен относительно начала координат, то y=f(x), хϵХ - нечетная функция