Теория вероятностей и математическая статистика

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Историческая справка
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка).

XVII век:
Блез Паскаль
Пьер де Ферма

Я́коб Берну́лли
Бернулли предложил классическое определение вероятности случайного события.
Он также изложил правила подсчёта вероятности для сложных событий и дал первый вариант ключевого «закона больших чисел»

Русская школа
Пафну́тий Льво́вич Чебышёв
Андре́й Андре́евич Ма́рков
Алекса́ндр Миха́йлович Ляпуно́в

На вероятностных методах основаны:
1) Квантовая механика
2) Генетика
3) Математическая статистика
4) Теория информации
5) Теория случайных процессов

Теория вероятностей в программировании
Базы данных (регистрации, фильтрации)
Теория игр и game development (случайные встречи, срабатывания навыков)
Web – программирование (статистика посещения сайтов)
Отладка и дебаггинг, интегрированные среды разработки (IDE)

Основные понятия

Что такое событие?
Под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух:
Да, оно произошло.
Нет, оно не произошло.
Событие – это результат испытания.

Виды случайных событий:
Совместные и несовместные
Единственно и не единственно возможные
Полные группы
Противоположные, не являющиеся противоположными

Классическое определение вероятности
Определение: Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, благоприятных событию N(А), к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания N.

Свойство вероятности противоположных событий
Вероятность Р(А) некоторого события
События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает не наступление события В, а
не наступление события А – наступление события В.
Событие, противоположное событию А, обозначают символом Ᾱ.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
P(A)+P(Ᾱ)=1.

Занимательные открытия и теории,
появившиеся благодаря теории вероятностей

Кот Шрёдингера
Мысленный эксперимент, предложенный австрийским физиком-теоретиком, одним из создателей квантовой механики, Эрвином Шрёдингером, которым он хотел показать неполноту квантовой механики. Основан на таких простейших понятиях, как «опыт», «вероятность», «исход».

ДНК - компьютер
В 1994 году Леонард Адлеман, профессор университета Южной Калифорнии, продемонстрировал, что с помощью пробирки с ДНК можно весьма эффективно решать классическую комбинаторную «задачу о коммивояжере» (кратчайший маршрут обхода вершин графа).

Теорема Шеннона
Основана на понятии энтропии – меры неопределённости некоторой системы (например, какого-либо опыта, который может иметь разные исходы, а значит, и количество информации). Без открытий Шеннона не появились бы такие технологии, как мобильная связь, Интернет, Wi-fi.

Вероятности
в повседневной жизни