Векторная алгебра. Расчет модели

§ 6. Векторы. Линейные операции на
множестве векторов
1. Основные понятия
ОПР. Вектором называется направленный отрезок
(т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец).
Обозначают: (где А – начало вектора, В – его конец),
и т.д.
Вспоминаем школьную программу

Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.
Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными).
Записывают: ā ∥ b̄ – если векторы ā и b̄ коллинеарные,
ā ∦ b̄ – если векторы ā и b̄ неколлинеарные.
Коллинеарные векторы бывают:
сонаправленными
противоположно направленными

Два вектора ā и b̄ называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.
ā = b̄ .
Все нулевые векторы считаются равными.
Векторы ā и b̄ , лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными (ортогональными).
ā ⊥ b̄ .
Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Векторы, начала которых строго фиксированы называют связанными;
Векторы, начала которых можно перемещать (параллельно переносить), называют свободными.
Пример – сила тяжести. Какой вектор?

2. Линейные операции на множестве векторов
Умножение на число; 2) Сложение векторов
ОПР. Произведением вектора ā ≠ 0̄ на число α ≠ 0 называется вектор, длина которого равна |α| · |ā| ,
а направление совпадает с направлением вектора ā при α > 0 и противоположно ему при α < 0 .
Обозначают: α ā
Если ā = 0̄ или α = 0, то α ā = 0̄ .
Вектор (–1)ā называют противоположным вектору ā
Обозначают –ā .
ЛЕММА 1 (критерий коллинеарности векторов).
Два вектора ā и b̄ коллинеарны тогда и только тогда,
когда ā = α · b̄ , для некоторого числа α ≠ 0 .

ОПР. (сложение - правило треугольника).
Пусть даны два вектора ā и b̄ .
Поместим начало b̄ в конец ā .
Вектор, соединяющий начало первого и конец второго построенных векторов, называется суммой векторов ā и b̄ и обозначается ā + b̄ .
Следствие – правило многоугольника.

ОПР. (правило параллелограмма).
Пусть даны два вектора ā и b̄ .
Совместим их начала, построим на этих векторах параллелограмм.
Суммой векторов ā и b̄ будет вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, выходящей из точки начал векторов и .
Частный случай: сумма ā + (– b̄ )
Сумму ā + (– b̄ ) называют разностью векторов ā и b̄ и обозначают ā – b̄ .

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ
1) ā + b̄ = b̄ + ā (коммутативность сложения векторов);
2) (ā + b̄) + с̄ = ā + (b̄ + с̄) (ассоциативность сложения векторов);
3) ā + 0̄ = ā;
4) ā + (–ā) = 0̄;
5) α ⋅ (βā) = (α ⋅ β)ā (ассоциативность относительно умножения чисел) ;
6) (α + β)ā = αā + βā (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения чисел);
7) α(ā + b̄) = αā + α b̄ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов);
8) 1 ⋅ ā = ā.
Найдите аналогию с тем, что учили в школе

3. Проекция вектора
ОПР. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.
Пусть ℓ – ось, – некоторый вектор.
Пусть A1 и B1– ортогональные проекции на ось ℓ точек A и B соответственно.
Вектор назовем векторной проекцией вектора на ось ℓ .
ОПР. Проекцией (ортогональной проекцией) вектора ā на ось ℓ называется
1) длина его векторной проекции на ось ℓ, взятая со знаком плюс, если вектор и ось ℓ сонаправлены;
2) Та же длина, но взятая со знаком минус, если вектор и ось ℓ противоположно направлены
Обозначают:

4. Понятия линейной зависимости и независимости. Базис
ОПР. Говорят, что векторы ā1, ā2, …, āk линейно зависимы, если существуют числа α1,α2, …, αk , не все равные нулю и такие, что
α1 · ā1+α2 · ā2+ …+ αk · āk = ō
Если равенство (1) возможно только при условии
α1=α2= …=αk=0, то векторы ā1, ā2, …, āk называют линейно независимыми.
ЛЕММА 2 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов).
Векторы ā1, ā2, …, āk линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся.
Доказательство.
Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 2.
(1)
А можно и самим

Пусть V(3)– множество свободных векторов пространства
(V(2) - плоскости).
ОПР. Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих одной плоскости (V(2)), называется базисом на этой плоскости. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе.
ОПР. Аналогично для V(3). СФОРМУЛИРОВАТЬ САМИМ !
Т.е. ā1, ā2, ā3 ∈ V(3) образуют базис если
а) ā1, ā2, ā3 – линейно независимы;
б) ā1, ā2, ā3 , ā – линейно зависимы для любого вектора ā из V(3).
ЛЕММА 3 (о базисе V(3) и V(2) ).
1) Базисом множества V(2) являются любые два
неколлинеарных вектора. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
2) Базисом в V(3) являются любые три некомпланарных вектора
ДОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО !
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободного вектора – это проекции вектора на направления базисных векторов.
⇡забыл?

Системы координат.
ОПР. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением.
ОПР. Афинной системой координат (косоугольной системой координат) называется совокупность точки, приложенного к ней афинного базиса и определяемых базисными векторами осей.
Замечание. Проекции в афинном базисе не ортогональные!
В качестве базиса V(2) можно взять любые два неколлинеарных (любые три некомпланарных в V(3) ) вектора. Но на практике предпочитают работать с декартовым прямоугольным базисом i , j (i, j, k).
ОПР. Декартовой системой координат называется совокупность точки, приложенного к ней декартового базиса и осей ОХ, ОY, OZ.

ТЕОРЕМА 4 (о базисе). Каждый вектор множества V(3) (V(2)) линейно выражается через любой его базис , причем единственным образом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМА 5 (основная теор. векторной алгебры).
Пусть {α1, α2, α3} – координаты вектора ā в базисе ē1, ē2, ē3 {β1, β2, βn} – координаты вектора b̄ в том же базисе.
Тогда
1) вектор ā + b̄ будет иметь в базисе ē1, ē2, ē3 координаты
{α1 + β1, α2 + β2, α3 + β3};
2) ∀λ∈ℝ вектор λā будет иметь в базисе ē1,ē2,ē3 координаты
{λα1 , λα2, λα3} .

ТЕОРЕМА 6 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме).
Векторы ā = {α1 ; α2 ; α3} и b̄ = {β1 ; β2 ; β3} коллинеарны ⇔ их координаты пропорциональны, т.е.
Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0 , то векторы ā и b̄ – сонаправлены; если k < 0, то ā и b̄ – противоположно направлены .

Матрица перехода
Рассмотрим два базиса векторного пространства V(3)
Е = {ēi} = и F = {f̅i} =
ОПР. Матрица T составленная из коэффициентов разложения, называется матрицей перехода от старого базиса ē1, ē2, ē3 к новому базису f̅1 , f̅2 , f̅3 .
ОПР*. Матрицей перехода Т от базиса Е базису F называется матрица, столбцами которой служат координаты векторов нового базиса в старом базисе.