Векторы

Многие физические величины характеризуются числовым значением и направлением в пространстве, их называют векторными величинами

Нулевой вектор – это любая точка плоскости или пространства.
Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 0.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Нулевой вектор определяет тождественное движение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя.

Если два вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых , то такие векторы называют коллинеарными.

Если два вектора не лежат на одной прямой или на параллельных прямых , то такие векторы называют неколлинеарными.
Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны.

Сложение векторных величин производится по правилу треугольника:
Для того чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.

Произведением вектора ? ≠ 0 на число k называется вектор, модуль которого равен числу |?|∗|? |и сонаправлен с вектором ? при k> 0 и противоположно направлен при k < 0.Произведение числа k на вектор ?записывают так : k?

Свойство вычитания суммы из числа:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
a − (b + c) = (a − b) − c или a − (b + c) = (a − с) − b
Скобки в выражении (a − b) − c не имеют значения и их можно опустить.
(a − b) − c = a − b − c
Разность векторов.

Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
(a + b) − c = (a − c) + b (если a > c или а = с)
или
(a + b) − c = (b − c) + a (если b > c или b = с)
Свойство нуля при вычитании:
Если из числа вычесть нуль, получится само число.
a − 0 = a
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
a − a = 0

Геометрическая интерпретация.
Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.
Алгебраическая интерпретация.
Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.
Умножение вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · ax; k · ay}
Формула умножения вектора на число для пространственных задач
В случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой: k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}
Формула умножения n -мерного вектора
В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; a2; ... ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой: k · a = {k · a1; k · a2; ... ; k · an}

Свойства вектора умноженного на число
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
b || a - вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 - вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 - вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · ax; k · ay}
Формула умножения вектора на число для пространственных задач
В случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой: k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}
Формула умножения n -мерного вектора
В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; a2; ... ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой: k · a = {k · a1; k · a2; ... ; k · an}

Свойства вектора умноженного на число
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
b || a - вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 - вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 - вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Угол между векторами.

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1 ; a2 ; ... ; an} и b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn
Скалярное произведение двух векторов.

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a · a ≥ 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля: a · a = |a|2
Операция скалярного умножения коммуникативна: a · b = b · a
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
(αa) · b = α(a · b)
Операция скалярного умножения дистрибутивна: (a + b) · c = a · c + b · c
Свойства скалярного произведения векторов.

Свойство вычитания суммы из числа:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
a − (b + c) = (a − b) − c или a − (b + c) = (a − с) − b
Скобки в выражении (a − b) − c не имеют значения и их можно опустить.
(a − b) − c = a − b − c
Разность векторов.

Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
(a + b) − c = (a − c) + b (если a > c или а = с)
или
(a + b) − c = (b − c) + a (если b > c или b = с)
Свойство нуля при вычитании:
Если из числа вычесть нуль, получится само число.
a − 0 = a
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
a − a = 0