Векторы

Содержание

Слайд 2

Многие физические величины характеризуются числовым значением и направлением в пространстве, их называют

Многие физические величины характеризуются числовым значением и направлением в пространстве, их называют векторными величинами
векторными величинами

Слайд 3

Нулевой вектор – это любая точка плоскости или пространства. Нулевым вектором называется вектор,

Нулевой вектор – это любая точка плоскости или пространства. Нулевым вектором называется
у которого начальная и конечная точка совпадают. Нулевой вектор обычно обозначается как 0. Длина нулевого вектора равна нулю. Нулевой вектор определяет тождественное движение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя.

Слайд 4

Если два вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых ,

Если два вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых ,
то такие векторы называют коллинеарными.

Слайд 5

Если два вектора не лежат на одной прямой или на параллельных прямых

Если два вектора не лежат на одной прямой или на параллельных прямых
, то такие векторы называют неколлинеарными.

Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Слайд 7

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны.

Слайд 8

Сложение векторных величин производится по правилу треугольника:
Для того чтобы получить сумму двух

Сложение векторных величин производится по правилу треугольника: Для того чтобы получить сумму
векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.

Слайд 10

Произведением вектора ?  ≠ 0 на число k называется вектор, модуль которого

Произведением вектора ? ≠ 0 на число k называется вектор, модуль которого
равен числу |?|∗|?  |и сонаправлен с вектором ? при k> 0 и противоположно направлен при k < 0.Произведение числа k на вектор ?записывают так : k? 

Слайд 11

Свойство вычитания суммы из числа:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него

Свойство вычитания суммы из числа: Чтобы вычесть сумму из числа, можно из
вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
a − (b + c) = (a − b) − c или a − (b + c) = (a − с) − b
Скобки в выражении (a − b) − c не имеют значения и их можно опустить.
(a − b) − c = a − b − c

Разность векторов.

Слайд 12

Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его

Свойство вычитания числа из суммы Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть
из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
(a + b) − c = (a − c) + b (если a > c или а = с)
или
(a + b) − c = (b − c) + a (если b > c или b = с)
Свойство нуля при вычитании:
Если из числа вычесть нуль, получится само число.
a − 0 = a
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
a − a = 0

Слайд 13

Геометрическая интерпретация.
Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному

Геометрическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному
(сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.
Алгебраическая интерпретация.
Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

Умножение вектора на число

Слайд 14

Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение

Формула умножения вектора на число для плоских задач В случае плоской задачи
вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · ax; k · ay}
Формула умножения вектора на число для пространственных задач
В случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой: k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}
Формула умножения n -мерного вектора
В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; a2; ... ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой: k · a = {k · a1; k · a2; ... ; k · an}

Слайд 15

Свойства вектора умноженного на число
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k

Свойства вектора умноженного на число Если вектор b равен произведению ненулевого числа
и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
b || a - вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 - вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 - вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Слайд 16

Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение

Формула умножения вектора на число для плоских задач В случае плоской задачи
вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · ax; k · ay}
Формула умножения вектора на число для пространственных задач
В случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой: k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}
Формула умножения n -мерного вектора
В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; a2; ... ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой: k · a = {k · a1; k · a2; ... ; k · an}

Слайд 17

Свойства вектора умноженного на число
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k

Свойства вектора умноженного на число Если вектор b равен произведению ненулевого числа
и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
b || a - вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 - вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 - вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Слайд 18

 

Угол между векторами.

Угол между векторами.

Слайд 19

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач В случае плоской задачи скалярное
векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1 ; a2 ; ... ; an} и b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn

Скалярное произведение двух векторов.

Слайд 20

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a ·

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля: a
a ≥ 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля: a · a = |a|2
Операция скалярного умножения коммуникативна: a · b = b · a
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
(αa) · b = α(a · b)
Операция скалярного умножения дистрибутивна: (a + b) · c = a · c + b · c

Свойства скалярного произведения векторов.

Слайд 21

Свойство вычитания суммы из числа:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него

Свойство вычитания суммы из числа: Чтобы вычесть сумму из числа, можно из
вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
a − (b + c) = (a − b) − c или a − (b + c) = (a − с) − b
Скобки в выражении (a − b) − c не имеют значения и их можно опустить.
(a − b) − c = a − b − c

Разность векторов.

Слайд 22

Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его

Свойство вычитания числа из суммы Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть
из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
(a + b) − c = (a − c) + b (если a > c или а = с)
или
(a + b) − c = (b − c) + a (если b > c или b = с)
Свойство нуля при вычитании:
Если из числа вычесть нуль, получится само число.
a − 0 = a
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
a − a = 0
Имя файла: Векторы.pptx
Количество просмотров: 19
Количество скачиваний: 0