Вычисление одномерных, двумерных и интегралов c переменным верхним пределом

Содержание

Слайд 2

q = quad (f, a, b)
q = quad (f, a, b, tol)
q

q = quad (f, a, b) q = quad (f, a, b,
= quad (f, a, b, tol, sing)
[q, ier, nfun, err] = quad (…)
quad – низкая точность с разрывной функцией
quadv – средняя точность с плавной функцией quadl – средняя точность
quadgk – колебательные функции и бесконечные границы
quadcc – высокая точность с функциями с особенностями

Слайд 3

Вычислить интеграл:
Напишем анонимную функцию:
f=@(x)x .* sin (1./x) .* sqrt (abs (1 -

Вычислить интеграл: Напишем анонимную функцию: f=@(x)x .* sin (1./x) .* sqrt (abs
x))
Построим ее график в отрезке (0,3)
>> x=0.0001:0.001:3;
>> plot(x,f(x))

Слайд 5

>> f=@(x)x .* sin (1./x) .* sqrt (abs (1 - x))
y=quad(f,0,3)

>> f=@(x)x .* sin (1./x) .* sqrt (abs (1 - x)) y=quad(f,0,3)
ABNORMAL RETURN FROM DQAGP
y = 1.981941224557954
>> y=quadv(f,0,3)
warning: division by zero
y = NaN
>> y=quadl(f,0,3)
error: max_recursion_depth exceeded
>> y=quadgk(f,0,3)
y = 1.981941211175243
>> y=quadcc(f,0,3)
y = 1.981941198153926

Разные способы вычисления

Слайд 6

Особенности интегрирования
>> f=@(x)x.^-0.9
>> y=quad(f,0,1)
y = 9.999999999999792
>> y=quadv(f,0,1)
warning: quadv: minimum step size reached

Особенности интегрирования >> f=@(x)x.^-0.9 >> y=quad(f,0,1) y = 9.999999999999792 >> y=quadv(f,0,1) warning:
-- possible singular integral
y = 9.999992801849245
>> y=quadl(f,0,1)
error: max_recursion_depth exceeded
>> y=quadgk(f,0,1)
warning: quadgk: non finite integrand encountered
y = 9.789371547302718
>> y=quadcc(f,0,1)
y = 9.999999260395999

Слайд 7

Вычислить интеграл:
>> f=(@(x) 1 ./ (sqrt (x) .* (x + 1))
>> quadgk(f,

Вычислить интеграл: >> f=(@(x) 1 ./ (sqrt (x) .* (x + 1))
0, Inf)
ans = 3.141592653589793

Слайд 8

Интегрирование таблично заданных функций
x=0:0.1:pi/2;
y=sin(x);
z=trapz (x, y) % Интегрирование методом % трапеций
z=0.9966636
Рассмотрим другой способ

Интегрирование таблично заданных функций x=0:0.1:pi/2; y=sin(x); z=trapz (x, y) % Интегрирование методом
интегрирования
p=polyfit(x,y,5); %Интерполяция полиномом
p1=polyint(p); % Производная полинома
z=polyval(p1,pi/2)-polyval(p1,0) %Вычисление
z = 1.0000003 %интеграла

Слайд 9

Вычисление интеграла с переменным верхним пределом
Для вычисления такого интеграла надо составить файл-функцию

Вычисление интеграла с переменным верхним пределом Для вычисления такого интеграла надо составить
вида:
function y=Fax(f,a,x)
% Вычисление интеграла с переменным
% верхним пределом
n=length(x);
y=zeros(1,n); %Выделение памяти
for i=1:n % Заполнение массива в цикле
y(i)=quadgk(f,a,x(i));
endfor
endfunction

Слайд 10

Вычислим интеграл вида:
В командной строке вводим анонимную подынтегральную функцию:
>> f=@(z) 1 ./

Вычислим интеграл вида: В командной строке вводим анонимную подынтегральную функцию: >> f=@(z)
(sqrt (z) .* (z + 1));
>> x=0:0.1:10;
>> y=Fax(f,0,x);
>> plot(x,y)

Слайд 11

Вычислить интеграл с переменным нижним пределом:

Самостоятельно

Вычислить интеграл с переменным нижним пределом: Самостоятельно

Слайд 12

Двумерные интегралы
Двумерные интегралы можно вычислять приведением двумерного интеграла к повторному (двумя способами).
Особенностями

Двумерные интегралы Двумерные интегралы можно вычислять приведением двумерного интеграла к повторному (двумя
двумерных интегралов является то, что область интегрирования может не являться прямоугольной.
Рассмотрим вначале интегрирование в прямоугольной области.

Слайд 13

Вначале напишем функцию, вычисляющую внутренний интеграл по х при различных значениях y:
function

Вначале напишем функцию, вычисляющую внутренний интеграл по х при различных значениях y:
q = gint(y,a,b)
q = ones (size (y)); %Распределяем память
ff=@(x,y)sin (pi*x.*y) .* sqrt (x.*y);
for i = 1:length (y)
f = @(x)ff(x,y(i));
q(i) = quadgk (f, a, b);
endfor
endfunction

Анонимную функцию объявляем здесь

Слайд 14

В командной строке найдем двумерный интеграл:
>> ggint=@(x)gint(x,2,3);In=quadgk(ggint,0,1)
In = 0.045377
Этот алгоритм осуществлен в

В командной строке найдем двумерный интеграл: >> ggint=@(x)gint(x,2,3);In=quadgk(ggint,0,1) In = 0.045377 Этот
функции dblquad для интегралов двух переменных. Эквивалент этого процесса осуществлен в triplequad для интегралов трех переменных. Для примера, вызовем dblquad как показано ниже:
>> f=@(x,y)sin(pi*x.*y).*sqrt(x.*y);
>> In=dblquad (f, 2, 3, 0, 1)
In = 0.045377

Слайд 15

dblquad (f, xa, xb, ya, yb)
dblquad (f, xa, xb, ya, yb, tol)
dblquad

dblquad (f, xa, xb, ya, yb) dblquad (f, xa, xb, ya, yb,
(f, xa, xb, ya, yb, tol, quadf)
dblquad (f, xa, xb, ya, yb, tol, quadf, …)
f – указатель на функцию, встроенная функция, или строка, содержащие имя функции. Функция f должна иметь форму z = f(x,y) где x - вектор и y - скаляр. Она должна возвращать вектор той же самой длины и ориентации как x. xa, ya и xb, yb - нижний и верхний пределы интегрирования для x и y соответственно.
Дополнительный аргумент tol определяет абсолютную точность вычисления каждого подинтеграла. Значение по умолчанию –
1e-6.
Дополнительный аргумент quadf определяет какую основную функцию интегрирования использовать. Любой выбор quad доступен и по умолчанию - quadcc.
Дополнительные аргументы функции f записываются после tol и quadf. Чтобы использовать значения по умолчанию для tol или quadf на их месте ствить ':' или пустую матрицу ([]).

Слайд 16

Примеры различных вызовов функции dblquad:
>> f=@(x,y)sin(pi*x.*y).*sqrt(x.*y);
>> format long;
>> In=dblquad (f, 2, 3,

Примеры различных вызовов функции dblquad: >> f=@(x,y)sin(pi*x.*y).*sqrt(x.*y); >> format long; >> In=dblquad
0, 1)
In = 4.537731171544740e-02
In=dblquad (f, 2, 3, 0, 1,1e-8) % Погрешность уменьшили
In = 4.537731134206942e-02
>> f=@(x,y,a)sin(pi*x.*y+a).*sqrt(x.*y+a); % a - параметр
% функции
>> In=dblquad (f, 2, 3, 0, 1,1e-8,[],0) % a=0
In = 4.537731134206942e-02
>> In=dblquad (f, 2, 3, 0, 1,1e-8,[],2*pi) % a=2*pi
In = 3.012549854177141e-01

Слайд 17

Рекурсивный алгоритм для интегрирования, представленный выше, называется повторным интегрированием. Существует отдельный двумерный

Рекурсивный алгоритм для интегрирования, представленный выше, называется повторным интегрированием. Существует отдельный двумерный
метод интегрирования, который осуществлен в функции quad2d.
Эта функция выполняет интегрирование, подразделяя область интегрирования в прямоугольные области и выполняет отдельное интегрирование над этими областями. Области дальше подразделяются в еще меньшие области, чтобы достигать желаемой точности. Этот метод функционирует быстрее, чем dblquad.

Слайд 18

q = quad2d (f, xa, xb, ya, yb)
q = quad2d (f, xa,

q = quad2d (f, xa, xb, ya, yb) q = quad2d (f,
xb, ya, yb, prop, val, …)
[q, err, iter] = quad2d (…)
Вычисление двумерного интеграла функции f, используя адаптивный квадратурный метод над двумерной областью определенной xa, xb, ya, yb, используя разбиение на прямоугольные области. К тому же, ya и yb могут быть скалярными функциями переменной x, учитывающими интегрирование над непрямоугольными областями.
f – указатель на функцию, встроенная функция, или строка, содержащие имя функции. Функция f должна быть в виде z = f(x,y), где x - вектор и y - скаляр. Она должна возвращать вектор той же самой длины и ориентации как x.

Слайд 19

>> f=@(x,y)sin(pi*x.*y).*sqrt(x.*y);
>> In=quad2d(f,2,3,0,1)
In = 4.537731177584814e-02
Рассмотрим интегрирование по области в двумерном пространстве:

y

0.5

Найдем площадь

>> f=@(x,y)sin(pi*x.*y).*sqrt(x.*y); >> In=quad2d(f,2,3,0,1) In = 4.537731177584814e-02 Рассмотрим интегрирование по области в
треугольника
>>f=@(x,y) 1;
In=quad2d(f,0,0.5,@(x)x,@(x)1-x)
In = 0.25000
>> f=@(x,y)sin(pi*x.*y).*sqrt(x.*y);
>> In=quad2d(f,0,0.5,@(x)x,@(x)1-x)
In = 0.022185
Написать функцию вычисления площади круга радиуса R

Слайд 20

Задание для самостоятельной работы
Пусть необходимо построить график функции, которая задается следующей формулой:

Собственные

Задание для самостоятельной работы Пусть необходимо построить график функции, которая задается следующей
значения
и вектора матрицы

Слайд 21

Исходные данные

N=16
f1=0:1023
f2=0:7
T=0.002
df1=1
df2=3
P=1000

Выдать промежуточные данные:
Построить график N/2 –й строки матрицы К.
Построить график первых

Исходные данные N=16 f1=0:1023 f2=0:7 T=0.002 df1=1 df2=3 P=1000 Выдать промежуточные данные:
4 собственных векторов матрицы К, отвечающих максимальным по величине собственным значениям.

Ввод данных реализовать в режиме диалога inputdlg

Имя файла: Вычисление-одномерных,-двумерных-и-интегралов-c-переменным-верхним-пределом.pptx
Количество просмотров: 44
Количество скачиваний: 0