Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление
1. Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма: Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x0)=0. Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. Теорема Ролля: Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема на интервале (a, b); на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b). тогда внутри отрезка существует, по крайней мере одна такая точка ζ∈(a, b), в которой производная функции равна нулю: f′(ξ)=0. Геометрический смысл теоремы Ролля: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равна нулю (на рис. таких точек две - ξ1, ξ2). Теорема Лагранжа: Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: непрерывна на отрезке [a ,b]; дифференцируема на интервале (a, b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ζ∈(a, b), в которой производная функции равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. Формула может быть также переписана в виде .
Slaidy.com
