Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Карл Гаусс
(1777 – 1855)
Математический талант Гаусса проявился ещё в детстве. По легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс быстро вычислил.
выдающийся немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён.
«Король математики»
= 5 050
1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100
Вычислите:
= 101 *
50

Найти сумму первых 100 натуральных чисел
S – сумма
S= 1 + 2 +3+…+98+99+100
S=100+99+98+…+ 3 + 2 + 1
2S=101*100 |:2
S=1+2+3+…+98+99+100=5050

Найти сумму первых 10 натуральных чисел.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
= 55
1 + 10
2
10
=

Sn – сумма первых n членов арифметической прогрессии
…………………………………………………………………………………………………………………………

n
: 2

Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой:
Решение

Найдём сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии
4; 5,5;…
Решение
4,
d =
1,5
772,5
Ответ:
772,5

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на 5.
Задача 19. ГИА – 2011г.
Решение
S – искомая сумма;
1; 2; 3; … 150 – арифметическая прогрессия
5; 10; … 150 – арифметическая прогрессия
5;
150;
d =
5;
5n;
5n = 150;
n = 30
= 75 (151 – 31) =
9 000
Ответ:
9 000

№ 690(в)
Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3,
заключенных в промежутке от 100 до 200.
Формула, задающая натуральные числа кратные 3:
Решение
3n
Что об этих числах вы знаете?
: 3
значит, члены последовательности с 34 по 66 удовлетворяют данному
условию.
Последовательность:
102;
105;
108; … ;
198
по определению
арифметическая прогрессия, первый член которой
102;
разность равна
3,
последний член –
198.
Сколько членов в этой прогрессии?
n =
66 – 33 =
33
4950
Ответ:
4 950

№ 691(б)
Найдите сумму натуральных чисел больших 50, но меньших
150 и не кратных 5?
Решение
S = 51 +
52 +
53 +
54 +
55 +
56 +
57 +
Исключаем числа:
55;
60;
65; …;
… + 149.
145.
Анализируем
S – искомая сумма,
S =
–
Последовательность чисел: 51; 52; … 149 – арифметическая
прогрессия со знаменателем 1.

, где
51,
149,
n =
149 –
50 =
99
9 900
Последовательность чисел: 55; 60; 65; … ; 145 – арифметическая
прогрессия со знаменателем 5.
55,
145,
n =
(n – 1)d
d =
5,
55 + 5(n – 1) = 145
5(n – 1) = 90
n – 1 = 18
n = 19
19
= 1 900
S = 9 900 – 1 900 =
8 000
Ответ: 8 000.