Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Содержание

Слайд 2

Карл Гаусс
(1777 – 1855)

Математический талант Гаусса проявился ещё в детстве. По

Карл Гаусс (1777 – 1855) Математический талант Гаусса проявился ещё в детстве.
легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс быстро вычислил.

выдающийся немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён.

«Король математики»

= 5 050

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100

Вычислите:

= 101 *

50

Слайд 3

Найти сумму первых 100 натуральных чисел

S – сумма
S= 1 + 2 +3+…+98+99+100
S=100+99+98+…+

Найти сумму первых 100 натуральных чисел S – сумма S= 1 +
3 + 2 + 1
2S=101*100 |:2

S=1+2+3+…+98+99+100=5050

Слайд 4

Найти сумму первых 10 натуральных чисел.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
= 55

1 + 10

2

10

=

Найти сумму первых 10 натуральных чисел. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= = 55 1 + 10 2 10 =

Слайд 5

Sn – сумма первых n членов арифметической прогрессии

…………………………………………………………………………………………………………………………

Sn – сумма первых n членов арифметической прогрессии …………………………………………………………………………………………………………………………

Слайд 7

Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой:

Решение

Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой: Решение

Слайд 8

Найдём сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5;…

Решение

4,

d =

1,5

772,5

Ответ:

772,5

Найдём сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5;… Решение 4, d

Слайд 9

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на
5.

Задача 19. ГИА – 2011г.

Решение

S – искомая сумма;

1; 2; 3; … 150 – арифметическая прогрессия

5; 10; … 150 – арифметическая прогрессия

5;

150;

d =

5;

5n;

5n = 150;

n = 30

= 75 (151 – 31) =

9 000

Ответ:

9 000

Слайд 10

№ 690(в)

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3,
заключенных в промежутке от 100

№ 690(в) Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3, заключенных в промежутке
до 200.

Формула, задающая натуральные числа кратные 3:

Решение

3n

Что об этих числах вы знаете?

: 3

значит, члены последовательности с 34 по 66 удовлетворяют данному
условию.

Последовательность:

102;

105;

108; … ;

198

по определению

арифметическая прогрессия, первый член которой

102;

разность равна

3,

последний член –

198.

Сколько членов в этой прогрессии?

n =

66 – 33 =

33

4950

Ответ:

4 950

Слайд 11

№ 691(б)

Найдите сумму натуральных чисел больших 50, но меньших
150 и не кратных

№ 691(б) Найдите сумму натуральных чисел больших 50, но меньших 150 и
5?

Решение

S = 51 +

52 +

53 +

54 +

55 +

56 +

57 +

Исключаем числа:

55;

60;

65; …;

… + 149.

145.

Анализируем

S – искомая сумма,

S =


Последовательность чисел: 51; 52; … 149 – арифметическая
прогрессия со знаменателем 1.

Слайд 12

, где

51,

149,

n =

149 –

50 =

99

9 900

Последовательность чисел: 55; 60;

, где 51, 149, n = 149 – 50 = 99 9
65; … ; 145 – арифметическая
прогрессия со знаменателем 5.

55,

145,

n =

(n – 1)d

d =

5,

55 + 5(n – 1) = 145

5(n – 1) = 90

n – 1 = 18

n = 19

19

= 1 900

S = 9 900 – 1 900 =

8 000

Ответ: 8 000.