Метод рационализации

Содержание

Слайд 2


Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без

Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без
умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств.

Введение

Слайд 3

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма.

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так,
Так, неравенство вида является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

Теоретическое
обоснование метода

Слайд 5


Рассмотрим логарифмическое неравенство вида
, (1)
где - некоторые функции
Теорема 1.
Логарифмическое неравенство

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , (1) где - некоторые функции Теорема 1.

равносильно следующей системе неравенств:
(2)

Сведение логарифмического
неравенства к системе
рациональных неравенств

Слайд 6

Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество

Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых
допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство.
Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство
Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство
Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода.
Терема доказана.

Доказательство

Слайд 7


Теперь рассмотрим показательное неравенство вида
3)
Так же, как в предыдущем

Теперь рассмотрим показательное неравенство вида 3) Так же, как в предыдущем пункте,
пункте, - некоторые функции.
И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется).
Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Сведение показательных
неравенств к системе
рациональных неравенств

Слайд 8

Теорема 2.
Показательное неравенство
равносильно следующей системе неравенств:
(4)

Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств: (4)

Слайд 9

Если , то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При сокращении

Если , то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При сокращении на
на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство
.
Если , то первый множитель третьего неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство
.

Доказательство

Слайд 10

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f,

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f,
g, h, p, q – выражения с переменной x (h > 0,h

1, f > 0, g > 0),

1).

а – фиксированное число (a > 0, a

Слайд 12

Доказательство
Пусть loga f- loga g> 0, то есть loga f> loga

Доказательство Пусть loga f- loga g> 0, то есть loga f> loga
g, причём a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0.
Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств
a -1<0
f – g < 0
Откуда следует неравенство (a – 1)(f – g) > 0 верное на области определения выражения F = loga f- logag.
Если a > 1, то f > g. Следовательно, имеет место неравенство (a – 1)(f – g)> 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(f – g)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем.
a – 1<0 a – 1 > 0
f – g < 0 f – g > 0
Из каждой системы следует неравенство loga f> loga g, то есть loga f- loga g> 0.
Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

Слайд 13

Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда

Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем
имеем
=
Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
или (h-1)(f-g) .

Слайд 14

Так как
=
то, используя замены 2а и 2б,

Так как = то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак
получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (f - 1)(g - 1)(h - 1)(g – f).

Слайд 15


Из неравенства > 0 следует . Пусть число а >

Из неравенства > 0 следует . Пусть число а > 1, тогда
1, тогда loga > loga или (h – g)loga h > 0.
Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем
(f – g)(a – 1)(h – 1) > 0, (f – g)(h – 1) > 0.
Аналогично, доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.
Доказательство проводится аналогично доказательству 4.
Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p2 > q2 ( | p | < | q | и p2 < q2).

Слайд 16

Решить неравенство:
Решение:

Пример 1.

Решить неравенство: Решение: Пример 1.

Слайд 17

-

-

+

+

-2

2

1

ОТВЕТ:

- - + + -2 2 1 ОТВЕТ:

Слайд 18

Решить неравенство:
Решение:

Пример 2.

Решить неравенство: Решение: Пример 2.

Слайд 19

-

+

-2

1

0

ОТВЕТ:

-1

-1

0

1

+

-

-

+

- + -2 1 0 ОТВЕТ: -1 -1 0 1 + - - +

Слайд 20

Решить неравенство:
Решение:

Пример 3.

Решить неравенство: Решение: Пример 3.

Слайд 22

Пример 4.

Решить неравенство:
Решение:

Пример 4. Решить неравенство: Решение:

Слайд 24

Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
Пример 8.

ОТВЕТ

ОТВЕТ

ОТВЕТ

ОТВЕТ

Решите примеры

Пример 5. Пример 6. Пример 7. Пример 8. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ Решите примеры

Слайд 25

Пример 9.
Пример 10.
Пример 11.

ОТВЕТ

ОТВЕТ

ОТВЕТ

Пример 9. Пример 10. Пример 11. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ

Слайд 26

-

+

1/2

3

2

ОТВЕТ:

+

-

0

-1

Пример 5

НАЗАД

- + 1/2 3 2 ОТВЕТ: + - 0 -1 Пример 5 НАЗАД

Слайд 27

-

+

6

2

ОТВЕТ:

1

3

9

+

-

+

Пример 6

НАЗАД

- + 6 2 ОТВЕТ: 1 3 9 + - + Пример 6 НАЗАД

Слайд 28

+

-

-1

3

1

ОТВЕТ:

0

-1

0

2

+

-

+

(2;3)

Пример 7

НАЗАД

+ - -1 3 1 ОТВЕТ: 0 -1 0 2 + -

Слайд 29

-

+

-2

1

ОТВЕТ:

-1

-1

0

+

-

Пример 8

НАЗАД

- + -2 1 ОТВЕТ: -1 -1 0 + - Пример 8 НАЗАД

Слайд 30

-

+

-3

1

0

ОТВЕТ:

-1

-1/2

4

+

+

-

Пример 9

НАЗАД

- + -3 1 0 ОТВЕТ: -1 -1/2 4 + + - Пример 9 НАЗАД

Слайд 31

-

+

3

ОТВЕТ:

1

1

2

+

+

-

Пример 10

НАЗАД

- + 3 ОТВЕТ: 1 1 2 + + - Пример 10 НАЗАД

Слайд 32

3/2

ОТВЕТ:

0

5/4

Пример 11

3/2 ОТВЕТ: 0 5/4 Пример 11
Имя файла: Метод-рационализации.pptx
Количество просмотров: 720
Количество скачиваний: 1