Ряды Фурье

Определение ортогональной системы функций
Тригонометрическая система функций
называется ортогональной на отрезке [-π,π] и на всяком отрезке длины 2π тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π .

Примеры
Рассмотрим несколько примеров таких интегралов.
в силу нечетности подынтегральной функции.

Определение ряда Фурье
Тригонометрический ряд
,
коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е.
называется рядом Фурье периодической с периодом 2π функции.

Определение кусочно-монотонной функции
Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, в каждом из которых функция монотонна.
Примеры кусочно-монотонных функций:1) , 2)sinx, 3)cosx .

Достаточный признак сходимости ряда Фурье
Если периодическая с периодом 2π функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [-π,π] или имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = c – точка разрыва, то
.

Разложение в ряды Фурье четных функций
Если f(x) –четная функция, то функции
являются нечетными, а функции -четными при любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла :
, если f(x) – нечетна, и
, если f(x) – четна

Продолжение
получим
Тогда имеем: ,
где
для четной функции.

Ряд Фурье нечетной функции
Если функция f(x) является нечетной и периодической с периодом 2π , то ее ряд Фурье имеет вид:
,
где коэффициенты

Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции
Если функция f(x) имеет период 2l , где l-любое число, большее нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π функции, положив . Тогда
функция имеет период 2 π. В самом деле:
π

Продолжение
Разложим в ряд Функцию , а затем вернемся к старой переменной. Имеем
, где
,
,

Ряд Фурье четной функции
Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы: , где

Ряд Фурье нечетной функции
Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно записать в следующем виде:
, где

Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Если функция не является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную.
Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.

Пример разложения функции в ряд Фурье
1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а) по синусам и б) по косинусам. Доопределим функцию до периодической нечетным образом.

Решение
Тогда , где
Вычислим интеграл по частям:

Продолжение
Таким образом, , а
, где или
де
ли

Продолжение
Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. Тогда .