Типы случайных событий и действия над ними

Событие называется случайным если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти.
Этот комплекс условий называется случайным опытом или случайным экспериментом.
Случайным считается событие, связанное со случайным экспериментом.
Пример.
Событие «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков.»
Случайный эксперимент – подбрасывание кубика.

Типы случайных событий
Достоверное событие
Невозможное событие
Достоверное событие – это событие, которое обязательно происходит при каждом проведении рассматриваемого эксперимента. Этому событию соответствует всё множество исходов данного эксперимента.
Пример.
Событие «При бросании кубика выпало не более 6 очков»
Невозможное событие – это событие, которое никогда не может произойти при проведении данного эксперимента. Этому событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента.
Пример.
Событие «При бросании кубика выпало 7 очков»

Решение задач
Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.
Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения
а) 30 января;
б) 30 февраля.
2. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается:
а) с буквы «К»;
б) с буквы «Ъ».

3. Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом:
а) вода в кастрюле закипела при температуре 80º С;
б) когда температура упала до -5º С, вода в луже замёрзла.
4. Бросают две игральные кости:
а) на первой кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков;
б) сумма выпавших на двух костях очков равна 1;
в) сумма выпавших на двух костях очков равна 13;
г) на обеих костях выпало по 3 очка;
д) сумма очков на двух костях меньше 15.

5. Вы открыли книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что:
а) в написании выбранного слова есть гласная буква;
б) в написании выбранного слова есть буква «О»;
в) в написании выбранного слова нет гласных букв;
г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) - это событие Ā, которое не происходит, если А происходит, и наоборот.
Пример.
Событие А «выпало четное число очков» и Ā «выпало нечётное число очков» при бросании игрального кубика.
Два события А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента (т.е. в соответствующих им множествах экспериментов нет одинаковых (общих) исходов).
Пример.
События «Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось 6 очков; чётное число очков» - совместные.
События «Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось 6 очков; 5 очков» - несовместные.
Два события А и В считаются независимыми, если вероятность каждого из них ( Р(А) и Р(В) ) не зависит от наступления или не наступления второго.

Решение задач
1. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.
а) мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня;
б) явка на выборы была от 40% до 47%;
в) из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два;
г) на контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.
2. Назовите события, для которого противоположным является такое событие:
а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки;
б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;
в) в нашем классе все умные и красивые;
г) в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.

3. Событие А – в результате стрельбы по мишени хотя бы одна пуля попала в цель. Что означает событие Ā?
4. В сыгранной Катей и Славой партии в шахматы:
а) Катя выиграла; Слава проиграл;
б) Катя проиграла; Слава выиграл.
5. Укажите какие из описанных пар событий являются совместными, а какие несовместными.
Из набора домино вынута одна костяшка, на ней:
а) одно число очков больше 3, другое число 5;
б) одно число не меньше 6, другое число не больше 6;
в) одно число 2, сумма обоих чисел равно 9;
г) оба числа больше 3, сумма чисел равна 7.

6. Из событий составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий:
а) идёт дождь;
б) на небе нет ни облачка;
в) наступило лето.
7. Из событий составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий:
а) наступило утро;
б) сегодня по расписанию 6 уроков;
в) сегодня первое января;
г) температура воздуха в Москве +20º С

8. Совместны ли следующие события?
а) А – у случайным образом составленного квадратного уравнения есть действительные корни; В – дискриминант уравнения отрицателен;
б) А – у случайным образом составленного квадратного уравнения нет действительных корней; В – дискриминант уравнения неположителен.
9. Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются совместными или несовместными события:
а) вынута карта красной масти и вынут валет;
б) вынут король и вынут туз.

Действия над случайными событиями
Суммой двух случайных событий А и В называют новое случайное событие А+В, которое происходит, если происходят либо А, либо В, либо А и В одновременно. Событию А+В соответствует объединение (сумма) множеств исходов, соответствующих событиям А и В.
Произведением двух случайных событий А и В называется новое случайное событие АxВ, которое происходит только тогда, когда происходят события А и В одновременно. Событию АxВ соответствует пересечение множеств исходов, соответствующих событиям А и В.