Презентации, доклады, проекты по алгебре

Равносильные преобразования Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и инверсий не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит их меньшее число

Познакомимся на примере с возрастанием и убыванием функции. На рисунке ниже изображен график функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10]. Рассмотрим еще один пример. Очевидно, что функция y=x2 убывает на промежутке (-∞; 0] и возрастает на промежутке [0;∞). Видно, что график этой функции при изменении x от -∞ до 0 сначала опускается до нуля, а затем поднимается до бесконечности. Определение. Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2>x1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1). Определение. Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2>x1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1). Иначе говоря, функция f называется возрастающей на множестве P, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве P, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Возрастание и убывание четных функций Для четных функций задача нахождения промежутков возрастания и убывания сильно упрощается. Достаточно всего лишь найти промежутки возрастания и убывания при x≥0 (см. рисунок внизу). Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке [a;b], где b>a≥0. Докажем, что эта функция убывает на промежутке [-b; -a]. Действительно, пусть -a≥x2>x1≥-b. Тогда f(-x2)=f(x2), f(-x1)=f(x1), причем a≤-x2f(-x2), то есть f(x1)>f(x2).

Задача. у = f (x), x - ! Найти значение у при заданном значении х. Задача. у = f (x), у- ! Найти значение х при заданном значении у. Дано: у = 2х + 3 Найти: у (5) Решение: у (5) = 2 · 5 + 3 = 13 Ответ: у (5) = 13 Дано: у = 2х + 3, у (х) = 42 Найти: х Решение: 42 = 2х + 3 2х = 39 х = 19,5 Ответ: у (19,5) = 42 Прямая Обратная Дано: Найти: t – ? Решение: , т.е. Обратимая функция Обратная функция к v( t )

Теорема Виета Если x1 и x2 – корни квадратного уравнения , то: Найти корни уравнений

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (x) входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях. Для показательных уравнений выполнено следующее утверждение: Уравнения af(x) = ag(x) (a>0, a) и f(x) = g(x) эквивалентны. Это утверждение используется при решении простейших уравнений. I. Простейшие уравнения Пример 1 Пример 2 5x-2 =3 3x+2 = 3 x+2=1 x-2 = log35 x = -1 x=2+ log35 Ответ x = -1 Прийти к простейшим уравнениям можно путем тождественным преобразованиям. Пример 3 0,53x-1 = 16-2 (1/2)3x-1 = (24)-2 (2-1)3x-1 = 2-8 2-3x+1 = 2-8 -3x+1 = -8 -3x = -9 x =3 Ответ: x =3 Ответ: Пример 4

* Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. Толстой Л.Н. * рассмотреть основные виды уравнений познакомиться с различными методами решения уравнений Задачи:

Вектором называется направленный отрезок. Модулем вектора называется длина содержащего его отрезка. l AB l=AB Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной, либо на параллельных прямых. Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Векторы называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны. А В С Е

Заполните пропуски Он есть у дерева, цветка, Он есть у уравнений. И знак особый - √ - ……. С ним связан, вне сомнений. Заданий многих он итог, И с этим мы не спорим. Недеемся, что каждый смог Ответить: это …… Позитивная пауза «Учиться нужно весело!»

C4. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение. , t ≥ 0, тогда x – 8 = ; x = + 8 и уравнение примет вид: Пусть t = -a - 8a +3a+2 a + t +5a – 2 = 0 Если a = 0, то уравнение имеет единственный корень t – 2 = 0; t =2; x = 4 + 8 = 12 Если a ≠ 0 и а > 0 D= 1 – 4a(5a – 2) = 1 – 20 + 8a; -20 + 8a + 1 > 0 20 -8a – 1 < 0 Ветви вверх Нули функции - 8a – 1 =0 D= 16 + 20 = 36 Т.к. t ≥ 0, то единственное неотрицательное решение будет, если t2 =

1. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек). Ответ: 0,25. Антонова Г.В. 2. В чемпионате мира участвуют 15 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Италии окажется в третьей группе? Решение: Обозначим через А событие «команда Италии в третьей группе». Тогда количество благоприятных событий m = 3 (три карточки с номером 3), а общее число равновозможных событий n = 15 (15 карточек).   Ответ: 0,2. Антонова Г.В.

Алгоритм решения уравнений вида |f₁(х)|+|f₂(х)|+|f₃(х)|+…+|fn (х)|=g(х) 1.Найти нули всех подмодульных выражений, расположить их по мере возрастания на числовой оси. 2.На полученных интервалах определить знак каждого подмодульного выражения и раскрыть модули по определению. 3.Решить полученные уравнения. 1.|х-2|+|х-4|=3 Нули модулей: х-2=0, х=2 х-4=0, х=4. 2)Знаки подмодульных выражений:

SINx=a (ǀaǀ≤1) Пример: Sinx=1/2 Решение Частные случаи COSx=a (ǀaǀ≤1) Частные случаи Решение

«Великая книга природы открыта для нас, но научиться понимать ее можно лишь путем прилежания, любви, страданий. Язык этот-математика. Математика расцветает в результате практической деятельности.» (Л. Эйлер) применять математические знания для поиска методов решения тригонометрических уравнений; выбирать приемы решения тригонометрических уравнений различными способами ; усовершенствовать навыки контроля; развить умение анализировать; получить возможность научиться составлять алгоритм решения уравнений с последовательным применением различных приемов и методов. Я хочу научиться на уроке

Уравнение cost = a 0 x y 2. Отметить точку а на оси абсцисс. 3. Построить перпендикуляр в этой точке. 4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью. 5. Полученные точки – решение уравнения cost = a. 6. Записать общее решение уравнения. 1. Проверить условие | a | ≤ 1 a t1 -t1 -1 1 Частные случаи уравнения cost = a x y cost = 0 cost = -1 cost = 1

Неравенство cost > a 0 x y 1. Отметить на оси абсцисс интервал x > a. 2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу. 3. Записать числовые значения граничных точек дуги. 4. Записать общее решение неравенства. a t1 -t1 -1 1 Неравенство cost ≤ a 0 x y 1. Отметить на оси абсцисс интервал x ≤ a. 2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу. 3. Записать числовые значения граничных точек дуги. 4. Записать общее решение неравенства. a t1 2π-t1 -1 1

Презентация составлена учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной Математика нужна Без нее никак нельзя Учим, учим мы, друзья, Что же помним мы с утра?

Свойства функции 1.D(y) 2.E(y) 3. Четность функции 4. Периодичность функции 5.Нули функции 6. Наибольшее значение 7. Наименьшее значение 8. Положительные значения 9. Отрицательные значения 10. Возрастание функции 11. Убывание функции y = sin x x 0 π/2 π 3π/2 2π - π/2 - π - 3π/2 D (y) x Є R

Устные упражнения Какие из следующих уравнений являются иррациональными? Устные упражнения 2. Является ли число х0 корнем уравнения?

Основная цель – изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при решении квадратных уравнений «Вся математика – это, собственно, одно большое уравнение для других наук» Новалис Девиз урока: Устная работа x² + 4x - 6 = 0 2x² + 6x = 6 7x² - 14x = 0 x² + 5x - 1= 0 3x² - 5x + 19 = 0 x² - 13x = 0

Содержание. Теорема косинусов. Дополнительная информация. Доказательство. Следствие. Пользуемся теоремой косинусов в решение треугольников. Вывод. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, с ∈ R (a ≠ 0). Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член. Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с ∈ R а = 1, то квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным.

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов ДАНО: АВС АВ = с, ВС = а, СА = в. ДОКАЗАТЬ: а = b = c sin A sin B sin C

ЦЕЛЬ УРОКА: повторить, обобщить и систематизировать знания по теме; проверить усвоение знаний и умений применять свойства степени при решении упражнений развитие навыков самостоятельной работы Повторение свойств степени Степенью числа а с натуральным показателем п называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.

Свойства функции Монотонность Возрастающая Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве Х, если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1) < f(х2). Убывающая Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1) >f(х2). x1 x2 f(x1) f(x2) х1 x2 f(x2) f(x1) Свойства функции