Перпендикулярность в пространстве (10 класс)

Перпендикулярность
в жизни

Перпендикулярность в
плоскостях

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.
a
b
c
Перпендикулярные прямые a и b пересекаются, а перпендикулярные прямые a и c скрещиваются.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Параллельные прямые,
перпендикулярные
к плоскости

a
α

ТЕОРЕМА
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
a
a1
x
α

ТЕОРЕМА
ЕСЛИ ДВЕ ПРЯМЫЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ
К ПЛОСКОСТИ,
ТО ОНИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.

Признак перпендикулярности
прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежавшим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Рассмотрим прямую a, которая перпендикулярна к прямым p и q, лежавшим в плоскости α и пересекающимся в точке О.
a
.
q
O
α
m
p
Докажем, что a перпендикулярна α. Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости α.

Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через точку О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m (если прямая m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму прямую m).
l
m
.
O
α
Отметим на прямой а точку А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.
Будем считать, для определенности, что точка Q лежит между точками P и L.
а
А
В
р
q
P
Q
L

l
m
.
O
α
а
А
В
р
q
P
Q
L
Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР = ВР и AQ = BQ. Следовательно, ∆APQ = ∆BPQ по трем сторонам. Поэтому угол APQ = углу BPQ.
Сравним ∆APL и ∆BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AP = BP, PL – общая сторона, угол APL = углу BPL), поэтому AL = BL. Но это означает, что треугольники ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. l перпендикулярна к а. Так как l ║ m и l перпендикулярна а, то m перпендикулярна а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третей). Итак, прямая а перпендикулярна к любой прямой m плоскости α, т. е. а перпендикулярна α.