Трехгранный угол

Теорема.
В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360°
и сумма любых двух из них больше третьего.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
∠(b; c) = α; ∠(a; c) = β; ∠(a; b) = γ.
Основное свойство трехгранного угла.
Доказать:
α + β + γ < 360°;
2) α + β > γ; α + γ > β; β + γ > α.

Доказательство
I. Пусть α < 90°; β < 90°; (ABC)⊥с.
Тогда ∠ОВС = 90° – α < ∠ОВА
(следствие из формулы трех косинусов).
Аналогично, ∠ОАС = 90° – β < ∠ОAВ.
Следовательно,
= 180° – (∠ОАB + ∠ОBA) < 180° – ((90° – α) + (90° – β)) = α + β.
Если γ < 90°, то остальные два неравенства пункта 2)
доказываются аналогично,
а если γ ≥ 90°, то они – очевидны.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
∠(b; c) = α; ∠(a; c) = β; ∠(a; b) = γ.
Доказать:
2) α + β > γ; α + γ > β; β + γ > α.

Формула трех косинусов
.
Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и
плоскостью применима формула:
2) Угол между прямой и плоскостью –
наименьший из углов, которая эта прямая,
образует с прямыми этой плоскости.

II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’
так, что |OA’| = |OB’| = |OC’|
Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ –
равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые.
Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим
неравенства, доказанные в пункте I:
∠С’А’B’ < ∠1 + ∠6; ∠А’B’C’ < ∠2 + ∠3; ∠B’С’А’ < ∠4 + ∠5.
Сложим эти неравенства почленно,
тогда 180° < (∠1 + ∠2) + (∠3 + ∠4) + (∠5 + ∠6) =
= (180° – γ) + (180° – α) + (180° – β) ⇒ α + β + γ < 360°.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
∠(b; c) = α; ∠(a; c) = β; ∠(a; b) = γ.
Доказать:
α + β + γ < 360°;
2) α + β > γ; α + γ > β; β + γ > α.

III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с
и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство,
доказанное в пункте II для произвольного трехгранного
угла:
(180° – α) + (180° – β) + γ < 360° ⇔ α + β > γ.
Аналогично доказываются и два остальных неравенства.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
∠(b; c) = α; ∠(a; c) = β; ∠(a; b) = γ.
Доказать:
α + β + γ < 360°;
2) α + β > γ; α + γ > β; β + γ > α.
с’

Следствие.
В правильной треугольной пирамиде плоский угол
при вершине меньше 120°.

Определение.
Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы.
Признаки равенства трехгранных углов.
Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны:
два плоских угла и двугранный угол между ними;
2) два двугранных угла и плоский угол между ними;
3) три плоских угла;
4) три двугранных угла.

.
.
Дан трехгранный угол Оabc.
Пусть α < 90°; β < 90°; тогда рассмотрим (ABC)⊥с
По теореме косинусов из ΔCАВ:
|AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC|⋅|BC|⋅cos
Аналог теоремы косинусов
Аналогично, из ΔOАВ:
|AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO|⋅|BO|⋅cosγ.
Вычтем из второго равенства первое и учтем, что
|AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2:
2|CO|2 – 2|AO|⋅|BO|⋅cosγ + 2|AC|⋅|BC|⋅ = 0 ⇔
.
;
;
;
тогда cosγ = cosα⋅cosβ + sinα⋅sinβ⋅cos
Заменим:

II. Пусть α > 90°; β > 90°,
тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с,
и соответствующий трехгранный угол Оаbс’,
в котором плоские углы π – α и π – β – острые,
а плоский угол γ и двугранный угол – те же самые.
По I.: cosγ = cos(π – α)⋅cos(π – β) + sin(π – α)⋅sin(π – β)⋅cos
⇔ cosγ = cosα⋅cosβ + sinα⋅sinβ⋅cos

III. Пусть α < 90°; β > 90°,
тогда рассмотрим луч a’,
дополнительный к a,
и соответствующий трехгранный угол Оа’bс, в котором
плоские углы α и π – β – острые,
третий плоский угол – (π – γ),
а противолежащий ему двугранный угол – (π – )
По I.: cos(π – γ) = cosα⋅cos(π – β) + sinα⋅sin(π – β)⋅cos(π – )
⇔ cosγ = cosα⋅cosβ + sinα⋅sinβ⋅cos
a’