Свойство скрещивающихся рёбер правильной треугольной пирамиды

B
A
C
D
О
В правильной треугольной пирамиде DABC
№260
через боковое ребро DС и высоту DO пирамиды
проведена плоскость α.
М
Докажите, что ребро АB
перпендикулярно к плоскости α
α
Доказательство.
●
1) ∆АBС - __________________, тогда
2) О – центр вписанной в ∆АBС окружности
3) СМ - __________ и высота ∆АBС , значит,
4) АВ лежит в плоскости АBС, DO ___ АВС, тогда
СМ ____ АB
DO ____ АB
5) Оказалось, что АВ перпендикуляр к СМ и к DO, значит,
АВ - перпендикуляр к плоскости DСM, причём
5) ∆ DСM – сечение пирамиды плоскостью α, тогда ребро АB
плоскость DСM совпадает с плоскостью α
перпендикулярно к плоскости DСM, значит, и к плоскости α

Свойство скрещивающихся рёбер правильной треугольной пирамиды

B
A
C
D
№261
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны
Доказательство.
1) Докажем, что перпендикулярны ребра АВ и CD
2) через боковое ребро DС и высоту DO пирамиды проведём плоскость α
О
М
●
3) ∆ DСM – сечение пирамиды плоскостью α, тогда ребро АB
перпендикулярно к плоскости DСM (по задаче №260),
значит, и к ребру CD, лежащему в этой плоскости, т. е.
перпендикулярны ребра АВ и CD.
Аналогично докажем, что перпендикулярны ребра АС и DВ;
ВС и AD
5) Так же можно провести доказательство перпендикулярности
пары рёбер ВС и AD

Применение свойства скрещивающихся рёбер правильной треугольной пирамиды в задаче С2 ЕГЭ - 2011

B
A
C
D
О
T
●
●
М
N
●
●
Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D
Ребро основания пирамиды равно
а высота равна
Найдите расстояние от середины ребра DB
до прямой МТ, где М и Т - середины
рёбер АС и АВ соответственно.
К
Решение с рекомендациями
1). М и Т - середины рёбер АС и АВ,
тогда МТ – _______ ___________ ∆АВС.
2). Проведём KN║ МТ
3). KNМТ - _________________, точнее – прямоугольник, так как
4). Скрещивающиеся рёбра правильной треугольной
пирамиды _________ ______________(см. решение №261, геометрия 10 - 11)
5). AD ____ ВС, тогда MN ____ KN или КТ ____ МТ,
т. е. КТ – искомое расстояние
●
КТ – ________ _____________ ∆АВD,
КТ = _____ AD.