Шар

R
O
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки
Данная точка называется центром сферы
Данное расстояние – радиусом сферы
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы

Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ.
А
С
В
Тело, ограниченное сферой, называется шаром
Центр, радиус и диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара

R
M(x;y;z)
C(x0;y0;z0)
z
y
x
O
Уравнение сферы
Уравнение с тремя неизвестными x, y и z называется уравнением поверхности F
МС =
Если точка М лежит на данной сфере, то МС = R или МС2 = R2, т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению
(х – х0)2+(у – у0)2+(z – z0)2 =R2
Если точка М не лежит на данной сфере, то МС2 ≠ R2, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению.
Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(х0;у0;z0) имеет вид
(х – х0)2+(у – у0)2+(z – z0)2 =R2

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ И ПЛОСКОСТИ
α
y
x
z
C (0;0;d)
O
R
1
d < R . Тогда R2- d2 > 0
r =
Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность
d

α
R
O
Сечение шара плоскостью есть круг.
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d = 0 и в сечении получается круг радиуса R, т.е. круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара

O
d
C (0;0;d)
α
y
x
z
d = R
Тогда R2 – d2 =0
Следовательно, точка О – единственная общая точка сферы и плоскости.
Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
2

α
y
x
d
z
C (0;0;d)
O
3
d > R
Тогда R2 – d2 < 0 , и уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки.
Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

α
О
А
Касательная плоскость к сфере
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью сферы.
Их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Теорема1:Радиус сферы, проведён- ный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости.
Теорема2: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящий через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.
Получим формулу для вычисления площади сферы радиуса R:
S = 4 π R2
ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ

B
O
R
r
x
M
A
x
С
ОБЪЁМ ШАРА
Рассмотрим шар радиуса R и центром в точке О
и выберем ось Ох произвольным образом
Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящие через точку М на этой оси, является кругом с центром в точке М.
Из прямоугольного треугольника ОМС находим
Применяя основную формулу для вычисления объёмов, получим
Так как S(x) = πr2 , то S(x) = π (R2 - x2)

С
О
В
α
х
АВ = h
А
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой – нибудь плоскостью.
Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов,
а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС – высотами сегментов.

шаровой
слой
С
В
А
Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями
Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя.
Расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя.