Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Расположение 2-х прямых на плоскости
а║b
пересекаются параллельны
a
b
a
b

Ответьте на вопросы по чертежу:
Являются ли параллельными прямые АА1 и DD1; АА1 и CC1, и почему?
Каково взаимное расположение прямых AA1 и DС?

Скрещивающиеся прямые
скрещивающиеся
Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости (т.е. не существует плоскости, содержащей эти прямые).
a
b

Признак скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, эти прямые скрещивающиеся.
Дано:
Доказать:
A
B
D
C

Признак скрещивающихся прямых
Доказательство:
Пусть CD и АВ лежат в одной плоскости β. Тогда
Плоскости совпадают, но по условию прямая CD пересекает α.
Следовательно, плоскости β не существует и прямые АВ и CD скрещиваются.
Дано:
Доказать:
A
B
B
D
C

Ответьте на вопросы по чертежу:
Каково взаимное расположение
прямых AB1 и DС;
прямой DС и плоскости AА1 B1В;
прямой AB1 и плоскости DD1 C1C?

Теорема о плоскостях, проходящих через скрещивающиеся прямые
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.
Дано:
Построить:
CD║α
Доказать: α - единственная
α
С
В
D
А

Задача № 34
Дано:
DЄ(АВС), АМ=МD,
DN=NB, DP=PC, KЄBN
Определить взаимное расположение прямых
а) ND ? AB
б) PK ? BC
в) MN ? AB
г) MP ? AC
д) KN ? AC
e) MD ? BC

Задача № 39
Дано:
Доказать:
Доказательство:
1) {A,C,D}Єα по аксиоме А1
2) В¢α, так как по определению скрещивающихся прямых
3)
по признаку скр.прямых

Сонаправленные лучи
Два луча ОА иО1А1,
не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО1.
Два луча ОА иО1А1,
лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между прямыми – это градусная мера, а не геометрическая фигура.
Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD определяется как угол между пересекающимися прямыми А1В1║АВ и C1D1║CD (от выбора точки М1 или М2 величина угла φ не зависит)

Ответьте на вопросы по чертежу:
Найдите угол между прямыми
ВС и СС1
АС и ВС
D1C1 и ВС
А1В1 и АС

Задача № 44
Дано:
ОВ║CD;
а) ﮮАОВ=40º
б) ﮮАОВ=135º
в) ﮮАОВ=90º
Найти:
угол между ОА и CD