Объем конуса и цилиндра

Понятие Объема
Объем геометрического тела – та часть пространства, которую занимает данное тело.
Объем измеряется в кубических единицах (мм2, см2, м2)
Свойства объемов:
1. Неотрицательность (объем геометрического тела – есть число положительное)
2. Аддитивность (если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел)
3. Нормированность (объем куба равен кубу его стороны)
4. Инвариантность (равные геометрические тела имеют равные объемы)
За единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины.

Цилиндр
Цилиндр – геометрическое тело, ограниченной цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра

Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади
основания на высоту:
Для доказательства впишем в данный цилиндр правильную n-угольную призму. С возрастанием n объем этой призмы будет стремиться к объему цилиндра. Объем призмы, как известно, находится по формуле V=Sоснh, где Sосн– площадь основания призмы. С возрастанием n площадь основания призмы стремится к площади круга – основания цилиндра. Значит, выражая площадь основания цилиндра через его радиус, получаем, что

КОНУС
Геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.
Образующая – это отрезок, соединяющий вершину конуса и точку, лежащую на границе основания. Все образующие конуса равны.
Высота конуса – это отрезок, проведенный из вершины конуса в центр основания, перпендикулярно плоскости основания
Конус – это тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (т.е. вокруг оси проходящей через один из катетов).

Объем конуса
Объем конуса равен одной трети произведения
площади основания на высоту:
Доказательство:

Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.
Основания исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, – высотой усеченного конуса.

Объем усеченного конуса
Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади
основания равны S и S1 вычисляется по формуле
где R и r – радиусы оснований усеченного конуса.

Доказательство:
Объем усеченного конуса может быть найден как разность объемов конусов с радиусами оснований R и r, общей вершиной и осью. Пусть высоты конусов равны H1 и H2 соответственно, причем Н1 – Н2 = Н – высота усеченного конуса. Вывод этой формулы получается из следующей цепочки равенств с учетом того, что из подобия следует