Организация поисковой и рефлексивной деятельности учащихся при решении планиметрических задач. ГИА 2013. Задачи №23

Цели занятия:
Показать различные приемы решения планиметрических задач.
2. Показать, как организовать поисковую и рефлексивную деятельность учащихся при решении планиметрических задач.
3. На одном примере продемонстрировать порядок оформления решения планиметрической задачи.

Этапы работы над
планиметрической задачей:
1. Построение чертежа и нанесение всех данных задачи.
2. Поиск способа решения задачи, который заканчивается составлением плана решения задачи.
3. Оформление решения.
4. Подведение итогов.

Задача (вариант 3 №23)
Сторона CB прямоугольника ABCD является хордой окружности с центром О за пределами прямоугольника. Через вершины A и D проведены касательные к окружности, касающиеся её в точках E и P вне прямоугольника и пересекающиеся в точке F. Отрезок касательной AE равен 3.Найдите радиус окружности, если AB=1, DA=6 и FA=5
о
P
D
C
B
А
F
E
K
Изобразите фигуры, участвующие в задаче, и нанесите на рисунок все данные.
Сравните свой рисунок с рисунком 1.
Какие дополнительные построения сделаны на чертеже?
Рис.1

о
C
B
А
F
E
K
D
P
M
Поиск решения.
Какие фигуры образовались на чертеже?
1
Что известно о данных фигурах?
Что можно найти по данным задачи?
AK=3, FK=4, EF=3+5=8 OE/3=8/4, OE=6

Составьте план решения задачи
План решения:
Доказать Тр.ОВС равнобедренный, ОМ ┴ВС, ВМ=МС.
Доказать FK ┴AD, AK=0.5AD.
Доказать OE ┴EF.
Доказать подобие ∆AKF и ∆OEF.
Рассм. пропорциональность отрезков OE и AK, EF и KF и
сделать вывод.
о
C
B
А
E
K
D
M
1
F

Оформление решения
Дано: ABCD- прямоугольник, ВС=6, АВ=1, EF и FP – касательные к окр.(о;R), т.F =EF ∩ FP, BC-хорда, AF=5, AE=3
Найти: R
о
C
B
А
F
E
K
D
M
1
P
Решение:
FO-биссектриса угла ЕFР по свойству касательных, проведенных из одной точки, ∆ВОC- равнобедренный, т.к. ОВ=ОС=R, BM-биссектриса, медиана, высота.Т.к. ВСIIАД, то ОF перпендикулярно АД, АК=0,5 АД=3. ∆AKF- прямоугольный. KF=4 по т. Пифагора. <1 входит в ∆AKF и ∆OEF. ∆OEF- прямоугольный, т.к. ОЕ- радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной ЕF. Следовательно ∆AKF ~ ∆OEF по двум углам. OE/AK=FE/FK? Откуда получаем R/3=8/4, R=6
Ответ: 6

Подведение итогов.
Какие сведения из курса планиметрии потребовались для решения задачи?
2. Сгруппируйте теоретические сведения по группам: «Окружность»,
«Треугольник», «Четырехугольник».
«Окружность»:
1) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.
2) Треугольник, образованный двумя точками на окружности и
центром окружности, является равнобедренным.
3)Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной окружности.

«Треугольник»:
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой треугольника.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
«Четырехугольник»:
1) В прямоугольнике противоположные стороны параллельны.
3. Что из работы над задачей полезно запомнить на будущее?
- важно на чертеж, сделанный по условию задачи, нанести все данные задачи;
- если обнаруженные данные не соответствуют первоначальному чертежу, то надо построить новый чертеж;