Решение простейших тригонометрических уравнений

Под простейшими тригонометрическими уравнениями понимают уравнения вида:
,где x – выражение с переменной, a∈.

x
y
1
0
Масштаб π:3
−1
Рассмотрим решение уравнения sinx=a с помощью графического способа решения. Для этого нам надо найти абсциссы точек пересечения синусоиды y=sinx и прямой y=a. Сразу же изобразим синусоиду.
I случай: a∉[–1;1]
Очевидно, что в этом случае точек пересечения нет и поэтому уравнение корней не имеет!
y=a, a>1
y=a, a<–1
a
a

x
y
1
0
Масштаб π:3
−1
II случай: a∈[–1;1]
Очевидно, что в этом случае точек пересечения бесконечно много, причем их абсциссы определяются следующим образом:
a
1) Рассмотрим точку, абсцисса которой попадает на отрезок .
2) Абсцисса этой точки – есть число(угол в радианной мере), синус которого равен a, т.е. значение этого числа равно arcsina.
3) Абсцисса второй точки, попадающей на отрезок [–π; π], равна (π–arcsina). Для объяснения этого достаточно вспомнить, что sinx=sin(π–x).
4) Все остальные абсциссы точек пересечения получаются из этих двух добавлением к ним чисел вида 2πn, где n∈ (ведь мы помним свойство периодичности функции y=sinx). Задание: назовите, какие абсциссы «улетевших» за край чертежа двух точек?
Ответ: (arcsina+2π) и (3π – arcsina).

x
y
1
0
Масштаб π:3
−1
a
Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:
Или, принято эти две записи объединять в одну (подумайте, как это обосновать):

x
y
1
0
Масштаб π:3
−1
III случай: a= –1; 0 или 1.
Эти три значения – особые! Для них общая формула корней, выведенная нами в предыдущем случае не годится. Проследите самостоятельно за выводом в каждом отдельном случае.
y=1
y=0
y=–1
Запомните эти три особых случая!

x
y
1
0
Масштаб π:3
−1
Решение уравнения cosx=a рассмотрим тем же графическим способом. Для этого нам надо найти абсциссы точек пересечения косинусоиды y=cosx и прямой y=a. Сразу же изобразим косинусоиду.
I случай: a∉[–1;1]
Очевидно, что в этом случае точек пересечения нет и поэтому уравнение корней не имеет!
y=a, a>1
y=a, a<–1
a
a

x
y
1
0
Масштаб π:3
−1
II случай: a∈[–1;1]
Очевидно, что в этом случае точек пересечения бесконечно много, причем их абсциссы определяются следующим образом:
2) Абсцисса этой точки – есть число(угол в радианной мере), косинус которого равен a, т.е. значение этого числа равно arccosa.
3) Абсцисса второй точки, попадающей на отрезок [–π; 0], равна –arccosa. Для объяснения этого достаточно вспомнить, что cosx=cos(–x).
4) Все остальные абсциссы точек пересечения получаются из этих двух добавлением к ним чисел вида 2πn, где n∈ .

Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:
Или, принято эти две записи объединять в одну:
x
y
1
0
Масштаб π:3
−1

III случай: a= –1; 0 или 1.
Эти три значения – особые! Для них общая формула корней, выведенная нами в предыдущем случае не годится. Проследите самостоятельно за выводом в каждом отдельном случае.
Запомните эти три особых случая!
x
y
1
0
Масштаб π:3
−1
y=1
y=0
y=–1

0
y
1
x
−1
Решение уравнения tgx=a исследуйте самостоятельно:
a

0
y
1
x
−1
Масштаб π:3
Решение уравнения сtgx=a исследуйте самостоятельно:
a