Операции над событиями. Алгебраические действия с вероятностями событий

События
Исход эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти?
2. Событие, которое при реализации данного комплекса условий непременно произойдет?
3. Событие, которое заведомо не может произойти при реализации данного комплекса условий?
4. Элементарное событие называется …

Операции над множествами
А = {4, 5, 6, 7}, B = {6, 7, 8, 9, 10, 11}

Событие – подмножество множества всех возможных исходов эксперимента
U – множество всех возможных исходов
ω – исход – элемент множества U
А – событие

Диаграммы Эйлера
U
U
ω
A
A
ω

Противоположное событие и его вероятность
A
Ā
Ā – событие, противоположное А
Событие А: выпадет число меньше трех
Множество исходов А = {1, 2}; Р(А) =
Событие Ā: выпадет число больше или равное трем
Множество исходов Ā= {3, 4, 5, 6}; Р(Ā) =
Событие Е: выпадет пятерка
Множество исходов Е = {5}; Р(Е) =
Событие Ē = выпадет не пятерка
Множество исходов Ē = {1, 2, 3, 4, 6}; Р(Ē) =
Р(Ā) = 1 – Р(А)

Объединение и пересечение событий
Объединением событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из двух событий А или В
Пересечением событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события А и В

Несовместные события
Два события А и В называются несовместными, если их пресечение пусто
Событие А: выпала тройка
Событие В: выпала пятерка
Р(А) = Р(В) =
Событие С: выпала тройка или пятерка (С = А U В)
Р(С) = Р(А U В) = Р(А) + Р(В) =

Формула сложения вероятностей для несовместных событий
Р(А U В) = Р(А) + Р(В)
В урне 3 красных и 5 желтых шаров. Какова вероятность того, что будут выбраны два шара одного цвета?
Р(А1UА2U…UAk) = Р(А1) + Р(A2)+…+P(Ak)

Формула сложения вероятностей для произвольных событий
Если события А и В пересекаются, т.е. совместны, то вероятность их объединения можно найти по формуле
Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В)
Бросают два кубика. С какой вероятностью будет выброшена хотя бы одна шестерка?
Событие А: шестерка выпала на первом кубике
Событие В: шестерка выпала на втором кубике
Событие А U В: шестерка выпала хотя бы на одном кубике
Событие : выпали две шестерки
Р(А U В) =

Независимые события
Два события А и В называются независимыми, если выполняется равенство
Р(А В) = Р(А) Р(В)
Из первых n натуральных чисел наугад выбирается число.
Событие А: выбранное число – четное.
Событие В: выбранное число кратно трем. Выяснить, являются ли события А и В независимыми, если : 1) n = 10; 2) n = 20; 3) n = 30.

Независимые события
Выясните, являются ли события А и В независимыми.
1) В одной урне находятся 5 белых и 7 красных шаров, а в другой – 6 белых и 6 красных шаров.
Событие А: из 1-ой урны вынут белый шар
Событие В: из 2-ой урны вынут белый шар
2) В урне находятся 5 белых и 7 красных шаров
Событие А: первым вынут вынут белый шар
Событие В: вторым вынут красный шар