Четырехугольники

Параллелограмм
Параллелограмм- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых
D
A
B
C

Теорема
Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник- параллелограмм.

Доказательство
Пусть ABCD - данный четырёхугольник и O - точка пересечения его диагоналей.
Треугольники AOD и COB
равны. У них углы при вершине
О равны как вертикальные, а
OD= ОВ и ОА=ОС по условию
теоремы.
Значит, углы ОВС и ОDA равны,
А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD.По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и CD с помощью равенства
треугольников AOB и COD. Так КАК
ПРОТИВОЛЕЖАЩИЕ СТОРОНЫ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, ТО ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭТОТ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК- ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Теорема доказана.
A
B
D
C
O

Прямоугольник
Прямоугольник- это параллелограмм, у которого все углы прямые.
B
A
D
C

Теорема
Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство
Пусть ABCD- данный прямоугольник. Утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников BAD и CDA.У них углы BAD и
CDA прямые, катет AD общий, а катеты AB и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипотенузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.
B
C
A
D

Ромб
Ромб- это параллелограмм, у которого все стороны равны.
B
A
C
D
О

Теорема
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Доказательство
Пусть ABCD- данный ромб. О- точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма АО=ОС.Значит, в треугольнике АВС отрезок ВО является медианой. Так как ABCD- ромб, то АВ=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведённая к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Теорема доказана.
B
A
D
C
О