Четырехугольники

Содержание

Слайд 2

Параллелограмм Параллелограмм- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на

Параллелограмм

Параллелограмм- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат

на параллельных прямых

D

A

B

C

Слайд 3

Теорема Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник- параллелограмм.

Теорема

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то

этот четырёхугольник- параллелограмм.
Слайд 4

Доказательство Пусть ABCD - данный четырёхугольник и O - точка пересечения его

Доказательство

Пусть ABCD - данный четырёхугольник и O - точка пересечения

его диагоналей.
Треугольники AOD и COB
равны. У них углы при вершине
О равны как вертикальные, а
OD= ОВ и ОА=ОС по условию
теоремы.
Значит, углы ОВС и ОDA равны,
А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD.По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и CD с помощью равенства
треугольников AOB и COD. Так КАК
ПРОТИВОЛЕЖАЩИЕ СТОРОНЫ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, ТО ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭТОТ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК- ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Теорема доказана.

A

B

D

C

O

Слайд 5

Прямоугольник Прямоугольник- это параллелограмм, у которого все углы прямые. B A D C

Прямоугольник

Прямоугольник- это параллелограмм, у которого все углы прямые.

B

A

D

C

Слайд 6

Теорема Диагонали прямоугольника равны.

Теорема

Диагонали прямоугольника равны.

Слайд 7

Доказательство Пусть ABCD- данный прямоугольник. Утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников

Доказательство

Пусть ABCD- данный прямоугольник. Утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников

BAD и CDA.У них углы BAD и
CDA прямые, катет AD общий, а катеты AB и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипотенузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.

B

C

A

D

Слайд 8

Ромб Ромб- это параллелограмм, у которого все стороны равны. B A C D О

Ромб

Ромб- это параллелограмм, у которого все стороны равны.

B

A

C

D

О

Слайд 9

Теорема Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Теорема

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его

углов.
Слайд 10

Доказательство Пусть ABCD- данный ромб. О- точка пересечения его диагоналей. По свойству

Доказательство

Пусть ABCD- данный ромб. О- точка пересечения его диагоналей. По свойству

параллелограмма АО=ОС.Значит, в треугольнике АВС отрезок ВО является медианой. Так как ABCD- ромб, то АВ=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведённая к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Теорема доказана.

B

A

D

C

О