Измеряем длину окружности

Цели урока:
Познакомить учащихся с понятиями:
длины окружности
одним из вариантов измерения длины окружности
числа π

Тест

Попробуем измерить длину окружности
Построим окружность
Выберем на ней несколько точек и соединим соседние точки отрезками.
Получилась замкнутая ломаная, все узлы которой лежат на окружности. Такая ломаная называется вписанной в окружность

Измерим длину ломаной и длину радиуса окружности
Длина ломаной = 11,51 cм
Радиус = 2 cм
Измерим длину ломаной в единицах радиуса:
Для этого найдем отношение длины ломаной к радиусу.

Если построенная ломаная не имеет самопересечений (пересечений звеньев), то длина ломаной приближает длину окружности
При этом, если узлы распределены по окружности неравномерно, то приближение плохое.
Можно найти такое расположение точек, при котором длина ломаной будет равна трем радиусам
Если же точки распределить равномерно, то ломаная будет приближать окружность гораздо лучше!

Расположите 6 точек на окружности так, чтобы длина ломаной равнялась 6. Как бы Вы ни старались, увеличить длину ломаной не удастся!
Наибольшая длина вписанной в окружность шестизвенной ломаной
без самопересечений
равна шести радиусам.

Попробуйте найти наибольшую длину вписанной ломаной без самопересечений из:
7 звеньев
8 звеньев
9 звеньев
10 звеньев

Обратите внимание, что,
дойдя до числа 6,28 радиусов, длина вписанной ломаной перестает возрастать!!!
Это свидетельствует о том, что мы нашли ломаные, длины которых совпадают с длиной окружности в трех первых (значащих) цифрах.
Итак, мы нашли с некоторой точностью длину окружности.
Она оказалась равна 6,28 · R (то есть 6,28 радиусов).
Если длину окружности требуется измерить в тех же единицах, что и радиус, нужно умножить 6,28 на длину радиуса
Эту формулу можно переписать по другому
где D – длина диаметра окружности.

В наших экспериментах мы обнаружили удивительную закономерность: в единицах радиуса или диаметра любая окружность задается одним числом.
Такое независящее от вида фигуры число называется ее инвариантом.
Число 3,14… является инвариантом окружности. Его принято обозначать и называть числом π (“пи”)
π = 3,14…

История числа π
Изучением числа π занимались многие математики всех времен и народов, т.к. это число играет важную роль в математике, физике, астрономии, технике и т.д. Можно даже утверждать, что по характеру и полноте знаний о числе π возможно судить о научно техническом уровне развития данного общества.

Из древнеегипетских и вавилонских источников известно, что потребности того времени вполне удовлетворяло число, равное трем. Позже римляне принимали π равное 3,12.
В Древнем Египте π считали равным 256/81=3,1604…
В истории математики известно, что первое вычисление на основе строгих теоретических рассуждений было выполнено выдающимся математиком древности Архимедом.
Архимед (ок.287-212 г.г. до н.э.) жил в г. Сиракузы на о. Сицилия. Погиб от рук римского воина. Перед гибелью Архимед сказал воину: «Не тронь мои круги!».
В своем труде «Об измерении круга» он
доказал, что π находится между числами
и , т.е. 3,1408 < π <3,1429.
Идеи Архимеда почти на два тысячелетия
опередили свое время.
Значение числа π, вычисленное им, многие
годы удовлетворяло
практическим расчетам людей.

Вычислением числа π занимались в более поздние века многие знаменитые математики.
Французский математик Франсуа Виет вычислил в 1579 году π с 9 знаками.
Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда – число π, вычисленное с 32 знаками.
Леонард Эйлер (1707-1783) – ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности, автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории
музыки. Именно он в 1736 г ввел число
π для отношения длины окружности к
длине ее диаметра.
Постепенно увеличивая точность значений,
в течение XVIII-XX веков нашли его значение
с огромной точностью до 808 десятичных
знаков.

Теперь известно, что число π иррациональное, может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Приблизительное значение 3,14159265358979323846264…
С помощью компьютера число π вычислено с точностью до миллиона знаков, но это представляет скорее технический, чем научный интерес…

ВЫВОДЫ:
Длина окружности равна 6,28 · R
(то есть 6,28 радиусов)
или
где D - диаметр окружности