Объём пирамиды

ВСПОМНИТЬ, ЧТО ТАКОЕ ПИРАМИДА
НАУЧИТЬСЯ ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ФОРМУЛОЙ НАХОЖДЕНИЯ ОБЪЁМА ПИРАМИДЫ
Цель работы:

ЧТО ТАКОЕ ПИРАМИДА
ТЕОРЕМА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СЛЕДСТВИЕ
ЗАМЕЧАНИЕ
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ВЫВОД
План:

ПИРАМИДА
Пирамида – это многогранник, одной из граней которой служит многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. В зависимости от числа боковых граней делятся на треугольные, четырехугольные и т.д. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость ее основания называется высотой.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту
Теорема

Доказательство
Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объёмом V,площадью основания S и высотой h. Проведем ось Ох, где ОМ – высота пирамиды и рассмотрим сечение А1 В1 С1 пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М1 пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S(х) – площадь сечения. Выразим S(х) через S,h и х. треугольники А1 В1 С1 и АВС подобны.

А1В1 параллельна АВ, поэтому треугольники ОА1В1 И ОАВ подобны. Следовательно, А1В1/АВ=ОА1/ОА. Прямоугольные треугольники ОА1М1 и ОАМ также подобны ( они имеют общий острый угол с вершиной О). Поэтому ОА1/ОА=ОМ1/ОМ=x/h. Таким образом, А1В1/АВ=х/h. Аналогично доказывается, что В1С1/ВС=x/h и C1A1/CA=x/h. Итак, треугольники АВС и АВС подобны с коэффициентом подобия x/h. Следовательно, S (x)/S=x2/h, или

Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=h, получаем

Докажем теперь терему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S. Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель 1/3h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S основания исходной пирамиды. Таким образом, объем исходной пирамиды равен 1/3Sh. Теорема доказана.

Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле
Следствие

В ходе доказательства теоремы об объеме пирамиды мы установили, что в сечении треугольной пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, получается треугольник, подобный основанию. Оказывается, имеет место и более общее свойство. Рассмотрим какую-нибудь фигуру Ф, лежащую в плоскости а, и точку О, не лежащую в этой в этой плоскости. Проведем через каждую точку М фигуры Ф прямую ОМ и рассмотрим множество Ф1 точек пересечения этих прямых с плоскостью а1, параллельной плоскости а. можно доказать, что фигура Ф1 подобна фигуре Ф. это свойство широко используется на практике. Например, на нем основано устройство кинопроектора, фотоаппарата, телескопа и других оптических приборов.
Замечание

№1 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
№2 В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а сторона основания х. найдите объем пирамиды.
№3 Найдите объем пирамиды с высотой h, если h=2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Мы вспомнили, что такое пирамида, научились пользоваться формулой нахождения объема пирамиды.
Вывод

СПАСИБО ЗА ПРОСМОТР!!!