Площадь криволинейной трапеции

Определение производной:
Найти производную функции по определению:
© Комаров Р.А.

Вставьте вместо *
Определение первообразной:
© Комаров Р.А.

Будут ли первообразными следующие функции
для функции
© Комаров Р.А.

Рассмотрим следующие чертежи
© Комаров Р.А.

Определение: фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей своего знака на отрезке [a; b] функции, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] называется криволинейной трапецией.
© Комаров Р.А.

Указать криволинейные трапеции, ответ обосновать.
© Комаров Р.А.

Как вычислить площадь данной криволинейной трапеции?
Площадь равна произведению
полусуммы оснований
трапеции на высоту.
?
© Комаров Р.А.

Площадь криволинейной трапеции
© Комаров Р.А.

Вычислите площадь криволинейной трапеции 2-мя способами
1) Используя формулу площади
трапеции из геометрии, получим:
2) Найдите F(x) и вычислите
S по формуле S=F(b)-F(a)
© Комаров Р.А.

Теорема:
Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S=F(b)-F(a).
Дано: f – функция непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b]
криволинейная трапеция
Док-ть: S=F(b)-F(a)
© Комаров Р.А.

Доказательство:
Выберем между a и b на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию, обозначим ее площадь через S(x).
Каждому х из отрезка [a; b] соответствует вполне определенное значение S(x), то есть S(x) можно назвать- функцией, зависящей от х.
х=а, то S(a)=0.
Если х=b , то S(b)=S (где S-площадь криволинейной трапеции).
© Комаров Р.А.

Докажем , что
– это площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок[x; x+∆x] (площадь фигуры заштрихованной на рисунке)
© Комаров Р.А.

Возьмем прямоугольник, равновеликий этой криволинейной трапеции и с длиной ∆х. Верхнее основание этого прямоугольника пересекает график функции в точке с координатами (с ; f(c)).
© Комаров Р.А.

Найдем С:
Тогда
Таким образом, мы доказали теорему и в
дальнейшем площадь криволинейной трапеции
будем вычислять по формуле
S=F(b)-F(a)
© Комаров Р.А.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение:
Ответ:
© Комаров Р.А.