Логарифм. Основные понятия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифм числа a по основанию b определяется как показатель степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число a. Обозначение: logba. Из определения следует, что записи logba = x и bx = a эквивалентны.
Где b не = 1, a>0, b > 0
Пример: log28 = 3, потому что 23 = 8.

ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ЛОГАРИФМ
Логарифм вещественного числа logba имеет смысл при .
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов:
Десятичные: основание: число 10.
Натуральные: основание: e (число Эйлера).
Двоичные: основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема

НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
Для производной натурального логарифма справедлива простая формула
По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:
ФизикаФизика — интенсивность звука (децибелы).
АстрономияАстрономия — шкала яркости звёзд.
ХимияХимия — активность водородныхХимия — активность водородных ионовХимия — активность водородных ионов (pH).
СейсмологияСейсмология — шкала Рихтера.
Теория музыки — нотная шкала.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
1) log b = 1 , так как b 1 = b .
b
2) log 1 = 0 , так как b 0 = 1 .
b
3) log a = a
b b
основное тригонометрическое тождество

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
4) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
log ( ab ) = log a + log b .
5) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:
log ( a / b ) = log a – log b .

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
6) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:
Log ( b k ) = k · log b .
7) Логарифм основания в степени равен произведению степени в минус первой степени на логарифм её основания
Log n b= 1/n log b
a a