Описанная окружность

Определение: окружность называется описанной около треугольника,
если все вершины треугольника
лежат на этой окружности.
Если окружность описана около треугольника,
то треугольник вписан в окружность.

Теорема. Около треугольника можно описать окружность,
и притом только одну.
Её центр – точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Доказательство:
Проведём серединные перпендикуляры
p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС
По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
(замечательная точка треугольника):
они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС.
Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит,
они лежат на окружности с центром О.
Значит, окружность описана около треугольника АВС.

Важное свойство:
Если окружность описана около прямоугольного
треугольника, то её центр – середина гипотенузы.
R = ½ AB
Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см.

Формулы для радиуса описанной около треугольника
окружности
Задача: найти радиус окружности, описанной около
равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см.
Решение:

Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника.
Решение:
Т. к. окружность описана около
равнобедренного треугольника АВС, то центр
окружности лежит на высоте ВН.
АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО =
= 16 – 10 = 6 (см)
АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), SАВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см2)

Определение: окружность называется описанной около
четырёхугольника,
если все вершины четырёхугольника лежат на окружности.
Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то
сумма его противоположных углов равна 1800.
Доказательство:
Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность
четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

Обратная теорема: если сумма противоположных углов
четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.
Доказательство: № 729 (учебник)
Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?

Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать
окружность, её центр – точка пересечения диагоналей.
Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать
окружность.