Сочетания. Свойства сочетаний. Бином Ньютона

Сочетания
Определение 1
Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность попарно различных k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов.
Другими словами k-сочетание – это k-элементное подмножество n элементного множества.
Пример. Дано множество .
Составим 2- сочетания:

Сочетания
Теорема 1
Число k- сочетаний n-элементного множества вычисляется по формуле
Доказательство. Из каждого k-сочетания, переставляя его элементы всевозможными способами, получим k! размещений. Значит,
Отсюда

Пример
Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток?
Решение. Задача сводится к вычислению числа сочетаний из 5 по 3

Свойства сочетаний
1)
Доказательство:
2)
Доказательство:

Свойства сочетаний
3)
Доказательство:
4)
Доказательство:

Бином Ньютона

Следствия из бинома Ньютона
получается из бинома Ньютона при
получается из бинома Ньютона при
1)Равенство
2) Равенство

Сочетания с повторениями

Сочетание с повторениями
Определение 1
Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов.
Пример: Дано множество А= .
Составим 2- сочетания с повторениями:

Число сочетаний с повторениями
Теорема1. Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества вычисляется по формуле

Пример
В магазине продаются пирожные 4 сортов. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Решение. Используем формулу числа сочетаний с повторениями, так как покупка будет содержать пирожные повторяющихся сортов.