Длина окружности

Дайте названия линиям и точкам
Какой формулой
связаны радиус и диаметр?
???
окружность
???
центр окружности
???
радиус
???
диаметр
(r)
(d)
???
d = 2r
???
точка окружности

Длину отрезка можно измерить с помощью линейки, длину ломаной можно найти, измерив её звенья и сложив их длины. С помощью специального прибора для измерения длин кривых линий – курвиметра можно измерить и длину окружности.
А как вы думаете: каким
образом измерить длину
окружности без этого
прибора?
рис. 95

Представим. Что мы разрезаем окружность и «распрямляем» ее в нить.
Длина получившегося в этом случае отрезка
и есть длина окружности.

Длина окружности обозначается буквой C.

n = 4

n = 6

n = 8

Периметр любого вписанного в окружность многоугольника
является приближённым значением
длины окружности.
При увеличении числа сторон правильный многоугольник всё ближе и ближе «прилегает» к окружности.
Длина окружности – это
предел, к которому стремится
периметр правильного
вписанного многоугольника при
неограниченном увеличении
числа его сторон.

С=πd
C=2πr

O1
Свойство длины окружности.
Отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.
O2

Число Π

≈3,14159265358 9793238462643…
π≈3,14
=
22
7

Обозначение числа происходит от первой буквы греческого слова периферия, что означает "окружность".
Чаще всего используется его значение, равное 3,14.
Более точное значение, равное 3,1416 легко запомнить по фразе: "Что я знаю о кругах". Здесь число букв в каждом слове дает соответствующую цифру в записи значения числа .
Обозначение буквой ввёл в употребление в 17 веке великий математик Леонард Эйлер.

А есть и стихотворения, например:
Чтобы нам не ошибаться,
надо правильно прочесть: три, четырнадцать, пятнадцать,
девяносто два и шесть!
Есть и другие фразы для запоминания числа П:
«Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду»;
«Вот и знаю я число, именуемое Пи»;
3,14159265358979323846
3,141592
3,1415926

Из древнеегипетских и вавилонских источников известно, что потребности того времени вполне удовлетворяло число, равное трем. Позже римляне принимали  равное 3,12.
В Древнем Египте  считали равным 256/81=3,1604…
В истории математики известно, что первое вычисление на основе строгих теоретических рассуждений было выполнено выдающимся математиком древности Архимедом.
Архимед (ок.287-212 г.г. до н.э.) жил в г. Сиракузы на о. Сицилия. Погиб от рук римского воина. Перед гибелью Архимед сказал воину: «Не тронь мои круги!».
В своем труде «Об измерении круга» он
доказал, что  находится между числами
и , т.е. 3,1408 <  <3,1429.
Идеи Архимеда почти на два тысячелетия
опередили свое время.
Значение числа , вычисленное им, многие
годы удовлетворяло
практическим расчетам людей.

Вычислением числа  занимались в более поздние века многие знаменитые математики.
Французский математик Франсуа Виет вычислил в 1579 году  с 9 знаками.
Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда – число , вычисленное с 32 знаками.
Леонард Эйлер (1707-1783) – ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности, автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки. Именно он в 1736 г ввел число
 для отношения длины окружности к
длине ее диаметра.
Постепенно увеличивая точность значений,
в течение XVIII-XX веков нашли его значение
с огромной точностью до 808 десятичных
знаков.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа П принадлежит японцу Акира Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число П до 100-тысячного знака после запятой.
Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком (на запоминание ушло 10 лет).
Запомнить знаки П человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность? Любимый вопрос мнемонистов-профессионалов. Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на П.
Мировой рекорд, установленный в прошлом столетии в Германии - 40 000 знаков. Российский рекорд значений числа П 1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа П.

510 знаков после запятой:
π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Сто миллионов знаков после запятой
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224731907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396

Теперь известно, что число  иррациональное, может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
С помощью компьютера число  вычислено с точностью до миллиона знаков, но это представляет скорее технический, чем научный интерес…

Существует даже праздник числа П! Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа П.
Ещё одной датой, связанной с числом П, является
22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» , так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа П.

В Сиэтле (США) существует памятник числу П, который находится на ступенях перед зданием Музея искусств

Задачи по теме
«Длина окружности»
Порешаем!!!

Теоретические сведения
О
О – центр окружности
r- радиус окружности
d- диаметр окружности
C – длина окружности

Задача:
1) вычислить длину окружности, если ее диаметр равен 6 см
2) вычислить длину окружности, если ее радиус равен 4 см
С = П D
С = 2П R
П ≈ 3,14

Решение:
1)
D=6 см С= 3,14• 6 =18,84 (см)
Ответ: длина окружности 18,84 см
С = П D
С = 2П R
2)
R = 4 см С = 2 • 3,14 • 4=25,12 (см)
Ответ: длина окружности 25,12 см

Задача:
Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр арены цирка
С = П D
С = 2П R
П ≈ 3,14

Решение:
С = П D
С=41 м
41 = 3,14•D
D = 41 : 3,14
D = 4100 : 314
D = 13 (м)
Ответ: диаметр цирковой арены равен 13 м
П = 3,14

Диаметр d= 5м
О
?
Длина окружности – С
Цветочная клумба имеет форму круга, диаметр которого 5м. Эту клумбу нужно обнести дерном. Какой длины полосу дерна нужно подготовить, если длину полоски считать по внутреннему краю?
С = П D
П ≈ 3,14
С = 2П R

С = 3,14•5=15,7 (м)
Ответ: длина полосы дерна равна 15,7 м
С = П D
Решение:
П ≈ 3,14

Ныне самым старым деревом является гигантский кипарис, который растет в одном из сел Южной Мексики. Диаметр ствола этого дерева 16 м. 28 человек, взявшись за руки, еле могут обхватить его. Вычисли длину обхвата дерева.

Решите задачу
У лукоморья дуб зелёный;
Златая цепь на дубе том:
И днём и ночью кот учёный
Всё ходит по цепи кругом…
А.С.Пушкин
подсказка
ответ
С=0,03
d=0,01
S=0,000075

Решение
0,35 * 6 = 2,1 (км) прошел кот за 6 часов
2,1 : 70 = 0,03 (км) длина 1 круга
Из формулы длины окружности найдем радиус
r=0,03:6 = 0, 005 (км)
d= 2* 0,005=0,01 (км)
S=3*0,000025=0,000075 (кв.км)

Отлитый в 1735 г. Царь колокол, хранящийся в Московском Кремле, имеет диаметр основания 6,6 м. Вычислите длину окружности основания Царь-колокола.
Диаметр колеса обозрения «Глаз Лондона» равен 135 м (рис. 96). Какой путь делает каждая из его гондол за один оборот вокруг центра колеса?
(Кстати, лондонское колесо обозрения самое большое в Европе. А слово «гондола» означает «кабина», а вообще гондолами называют особые лодки, в которых передвигаются жители Венеции по их улицам-рекам).
рис. 96

Решите задачу
Пришкольная площадка имеет форму квадрата периметром 96 м. посередине ее стоит Вовочка и крутит над головой веревку с привязанным камнем. Длина веревки – 11м 20 см, длина Вовочкиной руки – 70 см. есть ли на школьном дворе места, где одноклассники могут быть в безопасности?
Е.Ленский
ответ
Да, так как сторона квадрата больше диаметра окружности, описываемой веревкой и рукой

Решите задачу
Наконец и в путь обратный
Со своею силой ратной
И с девицей молодой
Царь отправился домой…”
“Сказка о Золотом петушке”
ответ
0,3

Решите задачу
На побережье Средиземного моря растет интересное растение- так называемый стреляющий огурец. Чтобы обеспечить себе наибольшее жизненное пространство, оно выстреливает семенами в разные стороны, покрывая ими площадь до 35 кв км
Б.Друзь
Найди наибольшее расстояние, на которое могут улететь семена. Ответ округлите до десятых. Воспользуйся калькулятором.
ответ
3338,6 м
или
3,3 км

Задача
(О Тунгусском метеорите, 1908 г.)
Диаметр опалённой площади тайги от взрыва Тунгусского метеорита равен примерно 38 км. Какова длина полосы тайги, которая пострадала от метеорита?

Древнегреческий математик Архимед установил, что длина окружности относится к длине диаметра приближенно как 22:7.
Найдите длину окружности, диаметр которой 4,2 дм.

Верхушка головы - где 1,7м рост человека.
Ноги прошли путь , где R радиус земного шара.
Вообразите, что вы обошли землю по экватору. На сколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?
Решение.
Разность путей равна
Итак голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.
Ответ:10,7 м.

Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса.
Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к её длине 1м, то сможет ли между проволокой и землёй проскочить мышь.
Решение. Пусть длина промежутка х см.
Если R радиус земли, то длина проволоки была 2Rсм,
а станет 2 (R + x)см.
А по условию задачи их разность равна 100 см.
Уравнение.
Ответ:16 см.

Найти длину окружности описанной около правильного треугольника со стороной а.
Выразите R через а.
Подставьте в формулу длины окружности.

R
O
R
H
Дано:  АВС – равнобедренный, вписан в О(О; R); АВ=AС=b, BC=a.
Найти длину окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и стороной b
А
В
С
ВН=
Из АВН: АН2=
Так как АО=R, то ОН=
Найти: С.
Решение. 1)

Найти длину окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b.
Из ВОН: BО2=OH2+BH2=R2=
А
В
С
Н
C=
О
Ответ:

Дана равнобедренная трапеция со сторонами 2a, a, a, a. Найти длину окружности, описанной около трапеции
Дано: АВСD – трапеция, АВ=ВС=СD= а, АD=2а.
Найти: Длину окружности.
Решение.
Окр(О; R) описанная около окружности.
Достроим трапецию ABCD до правильного шестиугольника. Тогда окружность описанная около шестиугольника будет описана и около трапеции.

Так как шестиугольник правильный, то радиус описанной окружности равен стороне. А значит C=2R=2a.
Ответ: 2a.
A
B
C
D

Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
отношение любой окружности к её
диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.

В первой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил "пи" с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
Только через 250 лет после ал-Каши
его результат был превзойдён.

Интересные факты
Отношение длины основания Великой Пирамиды к ее высоте, разделенное пополам, дает знаменитое число "пи" .
Возможно, оно намеренно зашифровано
в размерах Пирамиды Хеопса, причем с
более точным значением, чем его
знал великий Архимед, живший
позже на 2000 лет!

Интересные факты
Лидером по тупым законам по праву может считаться Американский штат Индиана. Там на ряду с законами запрещающими носить усы людям часто прибегающим к поцелуям, продавать молоко в винных магазинах и перекрашивать в другой цвет птиц и животных, действует закон о том, что на территории штата число . следует считать равным 4