Окружность

Круг
Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости …
удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное.
Данная точка называется …
центром круга,
а данное расстояние – …
радиусом круга.

Хорда и диаметр
Хордой называется отрезок, …
соединяющий произвольные две точки окружности.
Диаметром называется хорда,
проходящая через центр окружности.

Теорема
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Доказательство: Пусть дана окружность с центром в точке О, диаметр АВ перпендикулярен хорде CD. Если хорда CD проходит через центр О, то она является диаметром и делится в точке О пополам. Пусть хорда CD не проходит через центр О. Обозначим точку ее пересечения с диаметром АВ через Е. Треугольники ОЕС и ОЕD равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, ЕC = ЕD.

Вопрос 1
Какая фигура называется окружностью?
Ответ: Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние.

Вопрос 2
Какая фигура называется кругом?
Ответ: Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное.

Вопрос 3
Что называется: а) хордой; б) диаметром окружности?
Ответ: а) Хордой называется отрезок, соединяющий произвольные две точки окружности; б) хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Вопрос 4
Чем является наибольшая хорда окружности?
Ответ: Диаметром.

Вопрос 5
В каком отношении делит диаметр, перпендикулярную ему хорду?
Ответ: 1:1.

Упражнение 1
Какому неравенству удовлетворяют точки A, лежащие: а) в круге с центром в точке О и радиусом R; б) вне этого круга?

Упражнение 2
Сколько диаметров можно провести через центр окружности?
Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 3
Сколько окружностей может проходить через две заданные точки?
Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 4
Сколько окружностей проходит через три заданные точки, принадлежащие одной прямой?
Ответ: Ни одной.

Упражнение 5
Найдите диаметр окружности, если известно, что он на 55 мм больше радиуса.
Ответ: 110 мм.

Упражнение 6
Найдите длину наибольшей хорды в окружности, радиус которой равен 5 см.
Ответ: 10 см.

Упражнение 7
Расстояние между точками A и B равно 2 см. Найдите наименьший возможный радиус окружности, проходящей через эти точки.
Ответ: 1 см.

Упражнение 8
Точка A расположена вне окружности радиуса R и удалена от центра O этой окружности на расстояние d. Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки A до точек данной окружности?

Упражнение 9
Точка A расположена внутри окружности радиуса R и удалена от центра O этой окружности на расстояние d. Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки A до точек данной окружности?

Упражнение 10
Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 20 см. Найдите радиус данной окружности.
Ответ: 15 см.

Упражнение 11
Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 20 см и 4 см. Найдите радиус данной окружности.
Ответ: 12 см.

Упражнение 12
На рисунке изображена фигура, называемая кольцом. Сформулируйте определение этой фигуры.
Ответ: Кольцом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее одного данного расстояния и большее или равное другого данного расстояния.

Упражнение 13
Отрезки АВ и CD - диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.
Ответ: 29 см.

Упражнение 14
Какую фигуру образуют центры окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку?
Ответ: Окружность.

Упражнение 15
Какую фигуру образуют центры всех окружностей, проходящих через две данные точки?
Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки.

Упражнение 16
Верно ли следующее утверждение: «Равные хорды окружности одинаково удалены от ее центра»?

Упражнение 17
В окружности на равном расстоянии от центра проведены хорды AB и CD. Чему равна хорда AB, если хорда CD равна 8 см?
Ответ: 8 см.

Упражнение 18
В окружности проведены две равные хорды, одна из которых удалена от центра на 2 см. На каком расстоянии от центра находится другая хорда?
Ответ: 2 см.

Упражнение 19
Найдите внутри окружности точку, через которую можно провести бесконечно много равных хорд.
Ответ: Центр окружности.