Угол между прямыми

Цели урока:
Ввести формулировку и доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
Научиться находить
угол между прямыми
в пространстве.

Повторение.
Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?
Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые а) пресекаться?
б) быть скрещивающимися?
Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с?
Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Точки А и А1 лежат на прямой а, точки В и В1 лежат на прямой b. Как будут расположены прямые АВ и А1В1?
Прямая а скрещивается с прямой b, а прямая b скрещивается с прямой с. Следует ли из этого, что прямые а и с - скрещиваются?
Нет
Да
Нет
Нет
Да
АВ скрещивается с А1В1

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями.
а
а – граница
полуплоскостей.
А
В
С
Точки А и В лежат по одну
сторону от прямой а.
Точки А и С лежат по разные
стороны от прямой а.
?

Углы с сонаправленными сторонами.
О
А
О1
А1
Лучи ОА и О1А1 не лежат на одной
прямой, параллельны, лежат в одной
полуплоскости с границей ОО1 →
сонаправленные
А2
О2
?

Теорема об углах
с сонаправленными сторонами
Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
О1
О
А1
В1
В
А
Дано: угол О и угол О1
с сонаправленными
сторонами.
Доказать:

Теорема об углах
с сонаправленными сторонами
О1
О
А1
В1
В
А
Доказательство:
Отметим точки А, В, А1 и В1, такие что
ОА = О1А1 и ОВ = О1В1.
1. Рассмотрим ОАА1О1:
ОА|| О1А1
ОА = О1А1
ОАА1О1–параллелограмм
( по признаку ).
2. Рассмотрим ОВВ1О1:
Значит, АА1|| ОО1 и АА1 = ОО1.
ОВ|| О1В1
ОВ = О1В1
ОВВ1О1–параллелограмм
( по признаку ).
Значит, ВВ1|| ОО1 и ВВ1 = ОО1.

Теорема об углах
с сонаправленными сторонами
О1
О
А1
В1
В
А
Вывод:
АА1|| ОО1 и ВВ1|| ОО1,
АА1|| ВВ1
АА1 = ОО1 и ВВ1 = ОО1,
АА1 = ВВ1
Следовательно,
четырехугольник АА1В1В –
параллелограмм (по признаку).
АВ = А1В1
3. Рассмотрим ∆АВ О и ∆А1В1О1.
∆АВО = ∆А1В1О1
(по трем сторонам)
Вывод:

Угол между скрещивающимися прямыми.
α
1800 - α
00 < α 900
1.
2.
Угол между
скрещивающимися прямыми АВ и СD
определяется как угол
между пересекающимися
прямыми А1В1 и С1D1,
при этом А1В1|| АВ и С1D1|| CD.
А
В
D
С
А1
В1
С1
D1
α
М1

Практическое задание.
Выбрать любую точку М2.
Построить А2В2|| АВ и С2D2|| CD.
Ответить на вопросы:
1. Почему А2В2|| А1В1 и С2D2|| C1D1?
2. Являются ли углы А1М1D1 и А2М2D2
углами с соответственно
параллельными сторонами?
?
Вывод:
1.
Величина угла между скрещивающимися
прямыми не зависит от выбора точки.
3.

Дан куб АВСDА1В1С1D1.
Найдите угол между прямыми:
1.
ВС и СС1
2.
900
АС и ВС
450
3.
D1С1 и ВС
900
4.
А1В1 и АС
450

Задача №44.
Дано: ОВ || СD,
ОА и СD – скрещивающиеся.
Найти угол между ОА и СD, если:
О
В
C
D
A
а)
400
б)
450
в)
900