Матрицы и определители

Обозначается:
D
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Определитель – это число,
которое вычисляется по формулам,
схемам и правилам.

Определителем первого порядка матрицы
называется число
То есть:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Определителем второго порядка называется число, которое определяется по правилу:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Определителем третьего порядка называется число, которое определяется по правилу:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Пример.
Вычислить определители матриц:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Решение:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Минором элемента определителя D
называется такой новый определитель,
полученный из данного определителя
вычеркиванием строки и столбца,
на пересечении которых стоит
данный элемент.
Минор элемента определителя
обозначается как
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Алгебраическим дополнением
элемента аij определителя D
называется минор Mij этого элемента, умноженный на (-1)s , где S=i+j- сумме индексов i+j.
Обозначают: Aij
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

В частности, минор элемента
определителя третьего порядка найдется по правилу:
Его алгебраическое дополнение:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Свойства определителей
1
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Например:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

2
При перестановке двух строк или столбцов определитель изменит свой знак на противоположный.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Например:
Меняем местами первую и вторую строки:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

3
Если определитель имеет две
одинаковые строки или столбца,
то он равен нулю.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Например:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

4
Общий множитель строки или
столбца можно выносить за знак
определителя.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Например:
Выносим из второй строки множитель 2:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

5
Определитель не изменится, если
к элементам одной строки или столбца
прибавить соответственные элементы
другой строки или столбца,
умноженные на одно и то же число.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Например:
Первую строку умножаем на 2 и складываем со второй:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

6
Треугольный определитель, у которого
все элементы, лежащие выше (или ниже)
главной диагонали- нули, равен
произведению элементов
главной диагонали.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Например:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
= 3·3·3=27

7
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Пример.
Вычислить определитель:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Раскладываем определитель по третьей строке:
Решение:
=
Находим алгебраические дополнения:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Подставляем полученный результат:
=
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Вывод:
Способы вычисления определителя.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

1
Определители второго и третьего
порядка вычисляют по схемам.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

2
Определитель можно вычислить
с помощью его разложения по
элементам строки или столбца
(свойство 7).
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

3
Определитель можно вычислить
способом приведения его
к треугольному виду.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Этот способ основан на том, что
по свойству 6,
треугольный определитель равен произведению элементов главной
диагонали.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Чтобы получить треугольный
определитель, надо, по свойству 5
к какой-либо строке или столбцу
определителя
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

прибавить соответствующие
элементы другой строки или
столбца, умноженные на одно и тоже
число, до тех пор, пока не придем к
определителю треугольного вида.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Вычислить определитель:
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

Практикум 2.1 Определители
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ