Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача и теорема Коши. Общее и частное решения
Дифференциальные уравнения первого порядка § 1. Определение дифференциальных уравне-ний. Понятие решения дифференциального уравнения. Определение 1. Уравнение вида F(x, y(x), y′(x), …, y(n)(x)) = 0 (1) Связывающее независимую переменную х, иско-мую функцию y(x) и ее производные называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Наличие хотя бы одной производной обязательно.
Определение 2. Функция y = ϕ(x), n раз дифференцируемая на (a,b) называется решением уравнения (1), если подстановка этой функции в уравнение (1) обращает его в тождество, т.е. F(x, ϕ(x), ϕ′(x), …, ϕ(n)(x)) ≡ 0.
Пример: y′′ + y = 0.
Его решение: y = sinx. Убедимся в этом:
y′ = cosx,
y′′ = - sinx,
Тогда:
- sinx + sinx ≡ 0.
Slaidy.com
