Правильные многоугольники (9 класс)

Определение правильного многоугольника.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все (внутренние) углы.

Формула для вычисления угла правильного n-угольника.

Окружность, описанная около правильного многоугольника.
Теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник.
Окружность называется вписанной в многоугольник,
если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Пусть А1 А 2 …А n - правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. При доказательстве теоремы 1 мы выяснили, что ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОН проходит через точки Н1 , Н2, Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник.
Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник.
Доказать: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника, т.е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис.

А
D
B
C
O
Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник.
Доказать: около любого правильного многоугольника можно провести окружность, и притом только одну.
Доказательство:
Проведём биссектрисы ВО и СО равных углов АВС и ВСD. Они пересекутся, так как углы многоугольника выпуклые и каждый меньше 180⁰. Пусть точка их пересечения – О. Тогда, проведя отрезки ОА и OD, получим ΔВОА, ΔВОС и ΔСОD. ΔВОА = ΔВОС по первому признаку равенства треугольников (ВО – общая, АВ=ВС, угол 2 = углу 3). Аналогично ΔВОС=ΔCOD.
1
2
3
4
Т.к. угол2 = углу 3 как половины равных углов, то ΔВОС - равнобедренный. Этому треугольнику равны ΔВОА и ΔCOD => они тоже равнобедренные, значит, ОА=ОВ=ОС=OD, т.е. точки А, В, С и D равноудалены от точки О и лежат на окружности (О;ОВ). Аналогично и другие вершины многоугольника лежат на этой же окружности.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А, В, С. Т.к. через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника АВС...Аn можно описать только одну окружность.
o
A
B
C
D

Следствия.
Следствие №1
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Следствие №2
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Формула для вычисления площади правильного многоугольника.
Пусть S – площадь правильного n-угольника, a1 – его сторона, Р – периметр, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем, что

Для этого, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна
Следовательно,

Формула для вычисления стороны правильного многоугольника.
Выведем формулы:
Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А1Н1О
O
А1
А2
А3
Аn
H2
H1
Hn
H3
Следовательно,

Полагая в формуле n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

Задача №1
Дано: окружность(О; R)
Построить правильный n- угольник.
окружность разделим на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (на рисунке n=8).
Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу, поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник.
Построение правильных многоугольников.

Задача №2
Дано: А1, А2...Аn - правильный n - угольник
Построить правильный 2n-угольник
Решение.
Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения.
Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА1.
Разделим дуги А1А2, А2А3..., Аn А1 пополам
Каждую из точек деления В1, В2, ..., Вn соединим отрезками с концами соответствующей дуги.
Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника.
На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольник А1 В1 А2 В2 ... А6 В6.

Задача №3
Дано: отрезок PQ.
Построить правильный шестиугольник , сторона которого равна данному отрезку.
Решение:
Построим окружность (О;PQ) и отметим на ней произвольную точку А1
Не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6 так, чтобы выполнялись равенства А1А2 =А2А3=А3А4=А4А5=А5А6.
Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А1А2А3А4А5А6.
А6
А1
А2
А3
А4
А5

1.Любой правильный многоугольник является выпуклым
2.Любой выпуклый многоугольник является правильным 3.Многоугольник является правильным,
если он выпуклый и все его стороны равны
4.Треугольник является правильным, если
все его углы равны
5.Любой равносторонний треугольник является правильным
6.Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным
7.Любой правильный четырехугольник
является квадратом

ПРАВИЛЬНО

НЕПРАВИЛЬНО