Курс лекций по теоретической механике
Лекция 13. Аналитическая механика. Обобщенные координаты. Уравнения связей. Возможные перемещения. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Примеры использования принципа возможных перемещений при определении реакций связей. 15 Лекция 13 ■ Аналитическая механика – устанавливает общие, единые методы изучения движения и равновесия любых самых сложных материальных систем средствами математического анализа. Для этого вводятся новые понятия и обобщаются старые. ■ Связи – рассматриваются теперь как некоторые условия, налагаемые на систему, которые должны удовлетворяться в процессе движения системы. Они содержат соотношения (уравнения или неравенства) между координатами, компонентами скоростей и ускорений и, возможно, времени. Классификация связей: По интегрируемости: Голономные (геометрические) – выражаются конечными уравнениями относительно координат или интегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат: Неголономные (кинематические) - выражаются неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат, т.е. уравнениями, содержащими не только координаты точек системы, но и их производные по времени: Неинтегрируемость состоит в том, что их нельзя привести к виду уравнений голономной связи. По зависимости от времени: Склерономные (стационарные) – не зависящие от времени: Например, уравнение траектории, полученное для некоторой точки шатуна кривошипно-шатунного механизма: рассматривается как уравнение cклерономной голономной связи: Реономные (нестационарные) – зависящие от времени. Например, кинематическое возбуждение колебаний. По освобождаемости: Неосвобождающие (удерживающие или двухсторонние) – описываются уравнением, исключающим возможность покидания точкой траектории или поверхности, описываемой уравнением. Этому соответствует, например, жесткая связь в виде шарнирного стержня. Освобождающие (неудерживающие или односторонние) – выражаются неравенством, регламентирующим связь лишь в одном направлении, например, гибкая нить или гладкая поверхность. ■ Обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющее положение механической системы при ее движении. Обобщенность состоит в том, что они могут иметь различную природу (линейные или угловые перемещения относительно некоторого начального положения или какие-либо другие величины). Общее обозначение – qi (i = 1,…,n). ■ Число степеней свободы – число независимых обобщенных координат, через которые можно выразить декартовые координаты всех точек системы. Например: Здесь положение любой точки стержня (например, А) однозначно определяется значением всего одной величины – угла α, который является обобщенной координатой (q = α ). Число степеней свободы равно n = 1. Уравнение связи для рассматриваемой точки A: Если на систему N точек в пространстве наложено m голономных связей, то декартовые координаты всегда могут быть выражены конечными соотношениями: Число обобщенных координат равно n = 3N – m.